Questão 138 — ENEM 2017Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Trigonometria (função seno e valores notáveis)
• ⚡ Nível: Fácil — basta aplicar o valor notável sen(30°) = 1/2 e interpretar a razão entre dois valores da função
• 🎯 Tema/Habilidade: Modelagem de fenômenos físicos com funções trigonométricas (razão entre valores de uma função)
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Dado I(x) = k·sen(x), calcule quantos por cento vale I(30°) em relação ao valor máximo que I(x) pode assumir."
• Palavras-chave decisivas: intensidade máxima, sen(x), x = 30°
• Armadilha típica: confundir "reduzir a 30% do ângulo" com "reduzir a percentual da intensidade", ou lembrar errado o valor de sen(30°) (trocando com cos(30°) ≈ 0,866, que levaria à alternativa E por engano).
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de identificar o valor máximo de uma função seno no intervalo dado e calcular a razão percentual entre um valor específico e esse máximo.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Função seno no intervalo [0°, 90°]: nesse intervalo (primeiro quadrante), sen(x) é crescente, variando de sen(0°) = 0 até sen(90°) = 1. Portanto o valor máximo de sen(x) nesse domínio ocorre em x = 90°.
• Valores notáveis da trigonometria: sen(30°) = 1/2, sen(45°) = √2/2 ≈ 0,707, sen(60°) = √3/2 ≈ 0,866, sen(90°) = 1. Esses valores devem estar memorizados, pois aparecem com frequência em questões de modelagem.
• Razão percentual entre grandezas: para saber "quantos por cento X representa de Y", calcula-se (X ÷ Y) × 100%. Aqui, como a constante k multiplica ambos os valores (o de x = 30° e o máximo), ela se cancela na divisão — não é preciso conhecer k para responder.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "I(x) = k · sen(x)" → a intensidade luminosa é diretamente proporcional ao seno do ângulo de incidência; k é apenas um fator de escala constante que não depende de x.
• Evidência 2: "supondo-se que X está entre 0° e 90°" → o domínio de análise é exatamente o primeiro quadrante, garantindo que sen(x) seja crescente e que o máximo esteja no extremo superior, x = 90°.
• Evidência 3 (figura): o desenho mostra o raio solar incidindo sobre a superfície do lago (representada pelas hachuras) formando o ângulo X entre o raio e a linha da superfície → reforça que X é medido em relação à superfície, e não em relação à normal — mas isso é apenas contexto físico; para a resolução matemática, o que importa é a fórmula I(x) = k·sen(x) já fornecida.
• Síntese: o problema pede uma comparação relativa (percentual) entre I(30°) e I(90°) = I_máx. Basta calcular ambos os valores de seno e dividir.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Identificar o valor máximo de I(x)

Como x pertence ao intervalo [0°, 90°] e a função seno é crescente nesse intervalo, o valor máximo de sen(x) ocorre exatamente no maior valor possível de x, ou seja, x = 90°.

Logo:

I_máx = I(90°) = k · sen(90°) = k · 1 = k

Ou seja, o valor máximo da intensidade luminosa é numericamente igual à própria constante k.

Subpasso 4.2 — Calcular I(30°) e a razão percentual

Substituindo x = 30° na função:

I(30°) = k · sen(30°) = k · (1/2) = k/2

Agora, a pergunta é: I(30°) representa quantos por cento de I_máx?

Razão = I(30°) ÷ I_máx = (k/2) ÷ k = 1/2

Note que a constante k aparece tanto no numerador quanto no denominador e se cancela — por isso não é necessário conhecer seu valor numérico, o que é uma característica comum em questões de modelagem com constantes de proporcionalidade.

Convertendo a razão em percentual:

1/2 = 0,5 = 50%

Subpasso 4.3 — Verificação

Confirmando com uma leitura física: em x = 90°, o raio de luz atinge a superfície perpendicularmente (incidência máxima), gerando a maior intensidade possível. Em x = 30°, o raio é bem mais "raso" (rasante) em relação à superfície, o que naturalmente reduz a intensidade recebida por unidade de área — e a redução calculada (para exatamente metade do máximo) é coerente com esse raciocínio físico.

Comparando com as alternativas: 50% corresponde exatamente à alternativa B, batendo com sen(30°) = 0,5. Se alguém calculasse erroneamente com cos(30°) ≈ 0,866 (86%), cairia na armadilha da alternativa E; e se usasse sen(60°) ≈ 0,866 pelo mesmo motivo, cairia no mesmo erro. Portanto, o resultado 50% está confirmado.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 33%

❌ Incorreta: 33% se aproxima de 1/3, valor que não corresponde a nenhum seno ou cosseno notável do intervalo considerado (não é sen(30°), nem sen(45°), nem sen(60°)). É um distrator sem relação direta com os valores trigonométricos envolvidos, possivelmente pensado para quem tenta "dividir" o ângulo 30° por 90° (30/90 = 1/3 ≈ 33%) em vez de calcular a razão entre os senos — um erro clássico de confundir proporcionalidade do ângulo com proporcionalidade da função seno (que não é linear).

B) 50%

✅ Correta: é exatamente o resultado de sen(30°)/sen(90°) = (1/2)/1 = 0,5 = 50%. Essa é a razão entre a intensidade em x = 30° e a intensidade máxima (em x = 90°), como demonstrado no Passo 4.

C) 57%

❌ Incorreta: 57% não corresponde a nenhum valor notável de seno ou cosseno de ângulos comuns (30°, 45°, 60°, 90°). É um distrator numérico próximo de outros valores da trigonometria (como 1/√3 ≈ 0,577, relacionado à tangente de 30°), pensado para confundir quem mistura razões trigonométricas diferentes (seno com tangente, por exemplo).

D) 70%

❌ Incorreta: 70% se aproxima de sen(45°) = √2/2 ≈ 0,707 (ou 71%). Esse distrator engana quem calcula a intensidade para x = 45° em vez de x = 30°, ou quem erra o valor notável do seno de 30° e usa o de 45° por engano.

E) 86%

❌ Incorreta: 86% se aproxima de sen(60°) = √3/2 ≈ 0,866 (que também é igual a cos(30°)). Essa é a armadilha mais perigosa da questão: quem confunde seno com cosseno, calculando cos(30°) em vez de sen(30°), chega a esse valor. É o erro conceitual mais comum nesse tipo de questão — trocar a razão trigonométrica pedida pela sua complementar.

🏆 Gabarito: B — I(30°)/I(90°) = sen(30°)/sen(90°) = (1/2)/1 = 50%, pois sen(30°) = 1/2 é um valor notável fixo da trigonometria e o máximo de sen(x) no intervalo [0°, 90°] ocorre em x = 90°.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: a letra B é a única compatível com o valor notável sen(30°) = 1/2, que é exato e não depende de aproximações — diferente das demais alternativas, que só "parecem certas" se o candidato confundir seno com cosseno ou tangente de outros ângulos.
• Padrão de cobrança: o ENEM frequentemente contextualiza a trigonometria em fenômenos físicos (luz, som, marés, movimento circular) usando funções do tipo f(x) = k·sen(x) ou f(x) = k·cos(x), pedindo que o estudante calcule razões percentuais ou compare valores em pontos notáveis (0°, 30°, 45°, 60°, 90°) sem precisar resolver equações complexas.
• Generalização: sempre que uma grandeza física for modelada como G(x) = k·sen(x) (ou k·cos(x)) num intervalo em que a função é crescente (ou decrescente), o valor máximo ocorre no extremo em que sen(x) = 1 (ou cos(x) = 1); a razão percentual entre dois pontos da função é simplesmente a razão entre os respectivos valores de seno (ou cosseno), pois a constante k sempre se cancela.
• Dica de eliminação rápida: memorize a "tabela dos ângulos notáveis" (30°-45°-60° → 1/2, √2/2, √3/2) e converta mentalmente em percentual (50%, 71%, 87%); assim, ao ver x = 30° na questão, você já sabe de cabeça que a resposta gira em torno de 50%, eliminando A e C de imediato e restando apenas confirmar se não há troca entre seno e cosseno (que descartaria D e E).
• Conexões: esse mesmo raciocínio aparece em questões sobre variação de temperatura ao longo do dia, movimento harmônico simples e incidência de luz solar em painéis fotovoltaicos — todos modelados por funções senoidais com pontos notáveis.