Questão 156 — ENEM 2017Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Trigonometria no triângulo (Lei dos Cossenos)
• ⚡ Nível: Médio — exige montar um triângulo a partir de um contexto real (o compasso) e aplicar a Lei dos Cossenos corretamente, sem confundir o comprimento da haste com o raio da circunferência.
• 🎯 Tema/Habilidade: Resolução de triângulos não retângulos com a Lei dos Cossenos e leitura de tabela de intervalos (competência de resolução de problemas com geometria e trigonometria).
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Calcule o raio da circunferência (tampa) traçada por um compasso de hastes de 10 cm abertas em 120° e diga em qual faixa de material esse raio se enquadra."
• Palavras-chave decisivas: hastes de 10 cm, ângulo de 120°, raio da tampa
• Armadilha típica: achar que o raio da circunferência é o próprio comprimento da haste (10 cm) ou usar o cosseno de 120° com o sinal errado (tratando-o como positivo, igual ao de 60°).
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de traduzir a situação física (compasso aberto) em um triângulo isósceles e de aplicar a Lei dos Cossenos para achar o lado que representa o raio.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Compasso como triângulo isósceles: a cabeça do compasso (A) e as duas pontas (B e C) formam um triângulo em que AB = AC = comprimento da haste. O ângulo de abertura fica no vértice A.
• Raio da circunferência = distância entre as pontas: quando o compasso desenha o círculo, a ponta seca (C) é o centro e a ponta do grafite (B) percorre a borda. Logo, o raio R é exatamente o segmento BC, e não AB nem AC.
• Lei dos Cossenos: em qualquer triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois menos duas vezes o produto deles pelo cosseno do ângulo compreendido entre eles: a² = b² + c² − 2bc·cos(A). É a ferramenta certa quando se conhecem dois lados e o ângulo entre eles (caso LAL).

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "o comprimento das hastes é de 10 cm" → define AB = AC = 10 cm, os dois lados iguais do triângulo ABC.
• Evidência 2: "o ângulo formado por elas fosse de 120°" → é o ângulo interno no vértice A, exatamente o ângulo "compreendido" entre os dois lados conhecidos — o cenário perfeito para a Lei dos Cossenos.
• Evidência 3 (figura): C é a ponta seca (fixa, centro da circunferência) e B é a ponta do grafite (traça o círculo) → o segmento BC é o raio R que será comparado à tabela.
• Síntese: o problema se resolve montando o triângulo ABC (AB = AC = 10, Â = 120°) e calculando o lado BC via Lei dos Cossenos; o valor obtido é o raio R que deve ser localizado na tabela de materiais.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Montar o triângulo e identificar os dados

No triângulo ABC: AB = AC = 10 cm (as hastes) e o ângulo = 120° (ângulo entre as hastes, no vértice A). O lado desconhecido, oposto ao ângulo A, é BC — que é justamente o raio R da tampa.

Subpasso 4.2 — Aplicar a Lei dos Cossenos

BC² = AB² + AC² − 2·AB·AC·cos(A)

BC² = 10² + 10² − 2·10·10·cos(120°)

Como cos(120°) = −1/2:

BC² = 100 + 100 − 200·(−1/2)

BC² = 200 + 100

BC² = 300

BC = √300 = √(100 × 3) = 10√3

Usando a aproximação dada no enunciado (√3 ≈ 1,7):

BC ≈ 10 × 1,7 = 17 cm

Subpasso 4.3 — Verificação na tabela

O raio da tampa é R ≈ 17 cm. Confrontando com a tabela de materiais:

I: 0 < R ≤ 5 | II: 5 < R ≤ 10 | III: 10 < R ≤ 15 | IV: 15 < R ≤ 21 | V: 21 < R ≤ 40

Como 15 < 17 ≤ 21, o raio se enquadra exatamente no intervalo IV. Confirma-se que o resultado é coerente: 10√3 está estritamente entre 10√2 (≈14,1, limite de III) e 20 (dentro de IV), então cai com folga na faixa IV.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) I (0 < R ≤ 5)

❌ Incorreta: corresponderia a um raio minúsculo, como se o aluno confundisse o raio com "metade da haste" (10 ÷ 2 = 5 cm). Esse raciocínio ignora completamente o ângulo de 120° e a Lei dos Cossenos, tratando o compasso como se as hastes fossem colineares e a ponta ficasse no meio.

B) II (5 < R ≤ 10)

❌ Incorreta: é o valor que se obtém ao confundir o raio com o próprio comprimento da haste (R = 10 cm), esquecendo que a distância entre C e B depende do ângulo de abertura, e não é igual a AB nem a AC. Também é o resultado de um erro de sinal comum: usar cos(120°) = +1/2 em vez de −1/2, o que dá BC² = 200 − 100 = 100 e BC = 10 cm.

C) III (10 < R ≤ 15)

❌ Incorreta: surge de tratar o ângulo entre as hastes como se fosse 90° (aplicando Pitágoras em vez da Lei dos Cossenos): BC² = 10² + 10² = 200, logo BC = √200 = 10√2 ≈ 14,1 cm. É um erro conceitual de esquecer que o triângulo não é retângulo — o ângulo dado é 120°, não 90°.

D) IV (15 < R ≤ 21)

✅ Correta: é o resultado exato da Lei dos Cossenos aplicada corretamente, com cos(120°) = −1/2. BC = 10√3 ≈ 17 cm, valor que satisfaz 15 < 17 ≤ 21.

E) V (21 < R ≤ 40)

❌ Incorreta: é o tipo de erro que aparece quando o cálculo da raiz quadrada de 300 é feito de forma descuidada (por exemplo, aproximando √300 como algo próximo de 30, em vez de extrair corretamente 10√3 ≈ 17). Superestimar a raiz empurra o raio para uma faixa maior do que a real.

🏆 Gabarito: D — o raio da circunferência é BC = 10√3 ≈ 17 cm, calculado pela Lei dos Cossenos com  = 120° e AB = AC = 10 cm, valor que se enquadra no intervalo IV (15 < R ≤ 21).

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só o valor 10√3 ≈ 17 cm satisfaz simultaneamente a geometria do compasso (hastes de 10 cm, ângulo de 120°) e a condição 15 < R ≤ 21 da tabela — por isso a alternativa correta é a D (intervalo IV).
• Padrão de cobrança: o ENEM gosta de "esconder" a Lei dos Cossenos dentro de situações do cotidiano (compasso, escadas, antenas, terrenos triangulares), exigindo primeiro que o estudante identifique o triângulo e depois aplique a fórmula.
• Generalização: sempre que dois lados de um triângulo e o ângulo entre eles forem conhecidos e for preciso achar o terceiro lado, a ferramenta é a Lei dos Cossenos: a² = b² + c² − 2bc·cos(A). Se o ângulo for 90°, ela se reduz ao Teorema de Pitágoras (pois cos 90° = 0).
• Dica de eliminação rápida: memorize os cossenos notáveis com sinal — cos 60° = +1/2, cos 90° = 0, cos 120° = −1/2. Um ângulo obtuso (como 120°) sempre gera um terceiro lado maior do que se o ângulo fosse reto ou agudo entre os mesmos dois lados; isso já elimina de cara alternativas com raios muito pequenos (como I e II).
• Conexões: o mesmo raciocínio aparece em problemas de triangulação de distâncias (GPS, topografia) e no cálculo de diagonais de losangos e paralelogramos a partir de seus lados e ângulos.