Questão 140 — ENEM 2017Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Plana (círculos, retângulos e otimização de área)
• ⚡ Nível: Difícil — a questão parece um simples cálculo de área, mas esconde uma armadilha conceitual: perceber qual medida (base ou borda) define cada dimensão da bandeja.
• 🎯 Tema/Habilidade: Modelagem geométrica de um problema real de empacotamento (H8/H9 da Matriz ENEM — resolver situação-problema com raciocínio espacial envolvendo áreas de figuras planas).
• 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Qual a menor área retangular capaz de acomodar 4 taças enfileiradas, considerando que a base (raio 4 cm) fica apoiada na bandeja e a borda (raio 5 cm) é mais larga que a base?"
• Palavras-chave decisivas: "bases totalmente apoiadas", "raio 4 cm" (base) e "raio 5 cm" (borda superior)
• Armadilha típica: usar o raio da borda superior (5 cm) para calcular a largura da bandeja e/ou as margens das extremidades, como se a borda também precisasse estar "em cima" da bandeja — quando na verdade só a base precisa de apoio.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de separar duas restrições diferentes — (1) o espaçamento mínimo entre as taças, que é ditado pela parte mais larga (a borda, para elas não se tocarem/colidirem), e (2) o tamanho da bandeja, que é ditado apenas pela parte que precisa estar apoiada (a base).

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Área do retângulo: A = comprimento × largura. A bandeja é modelada como um retângulo, e a questão pede a menor área possível.
• Empacotamento circular (packing): quando círculos são posicionados lado a lado, a distância mínima entre seus centros para que não se sobreponham é a soma dos dois raios (r₁ + r₂). Se os círculos são iguais, a distância mínima é o diâmetro.
• Diferença entre "apoiar" e "ocupar espaço": um objeto pode ocupar espaço acima da bandeja (balançando para fora da borda) sem precisar estar apoiado nela. Só o que toca a bandeja (a base da taça) precisa estar contido dentro dela.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "dispostas em uma única fileira, paralela ao lado maior da bandeja" → as 4 taças ficam alinhadas em uma reta; essa reta define o comprimento da bandeja.
• Evidência 2: "com suas bases totalmente apoiadas na bandeja" → a única parte da taça que precisa estar dentro dos limites da bandeja é a base (raio 4 cm); a borda superior (raio 5 cm), por ser mais alta e mais larga, pode ultrapassar a beirada da bandeja sem cair.
• Evidência 3: "raio 4 cm e 5 cm, respectivamente" (base e borda) → a borda é 1 cm maior em raio que a base — essa diferença é o coração do problema: se as taças forem encostadas pela base (8 cm de diâmetro), as bordas (10 cm de diâmetro) vão se esbarrar.
• Síntese: a bandeja precisa ser larga o suficiente só para as bases (largura = 8 cm), mas as taças precisam ficar afastadas o suficiente para que as bordas mais largas não colidam entre si (espaçamento mínimo entre centros = 10 cm). São duas contas separadas que juntas dão o comprimento.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Determinar a largura mínima da bandeja

Como apenas a base de cada taça (raio 4 cm) precisa estar apoiada sobre a bandeja, a largura mínima é exatamente o diâmetro da base:

largura = 2 × 4 = 8 cm

A borda superior (raio 5 cm) pode ultrapassar as bordas frontal e traseira da bandeja sem problema, já que nessa direção não há taça vizinha para colidir — a taça simplesmente "paira" um pouco para fora, apoiada apenas pelo pé.

Subpasso 4.2 — Determinar o espaçamento mínimo entre as taças

Se as taças fossem encostadas apenas pelas bases, a distância entre os centros seria 4 + 4 = 8 cm. Mas nessa distância, as bordas superiores (raio 5 cm cada) se sobreporiam, pois 5 + 5 = 10 cm > 8 cm — fisicamente impossível, as taças bateriam uma na outra.

Logo, a distância mínima entre os centros de duas taças consecutivas é ditada pela parte mais larga:

distância mínima entre centros = 5 + 5 = 10 cm

Com 4 taças em fileira, existem 3 intervalos entre centros consecutivos:

distância total entre o 1º e o 4º centro = 3 × 10 = 30 cm

Subpasso 4.3 — Determinar o comprimento mínimo da bandeja

Ao comprimento de 30 cm entre os centros extremos, é preciso somar o "sobressalto" das bases nas duas pontas — pois é a base (raio 4 cm, não a borda) que precisa ficar totalmente dentro da bandeja:

comprimento = 30 + 4 (base da 1ª taça) + 4 (base da 4ª taça) = 38 cm

Subpasso 4.4 — Calcular a área mínima

Área = comprimento × largura = 38 × 8 = 304 cm²

Verificação: 304 cm² está exatamente entre a estimativa "ingênua" que usaria só a borda (40 × 10 = 400 cm²) e uma estimativa que ignorasse completamente o espaçamento pela borda (32 × 8 = 256 cm², nem sequer listada). O valor 304 aparece exatamente na alternativa C, confirmando a coerência do raciocínio: largura pequena (governada pela base) combinada com comprimento maior (governado pela borda, que impõe o afastamento).

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 192.

❌ Incorreta: resulta de um duplo erro — usar o diâmetro da base (8 cm) também para o espaçamento entre as taças (ignorando que a borda mais larga colidiria) e esquecer de somar as margens das bases nas duas extremidades do comprimento. Cálculo do erro: comprimento = 3 × 8 = 24 cm (sem margens finais) × largura 8 cm = 192 cm². Subestima muito a bandeja real.

B) 300.

❌ Incorreta: usa corretamente a borda (raio 5 cm) para o espaçamento entre taças e para a largura, mas esquece de somar as margens de 5 cm em cada extremidade do comprimento. Cálculo do erro: comprimento = 3 × 10 = 30 cm (sem margens) × largura 10 cm (diâmetro da borda) = 300 cm². Erra tanto na largura (deveria ser 8, não 10) quanto no comprimento (faltam as margens).

C) 304.

✅ Correta: combina exatamente as duas restrições certas — largura definida pelo diâmetro da base (8 cm, pois só a base precisa de apoio) e comprimento definido pelo espaçamento mínimo imposto pela borda mais larga (10 cm entre centros) somado às margens das bases nas pontas (4 + 4 cm). Comprimento = 3×10 + 4 + 4 = 38 cm; Área = 38 × 8 = 304 cm².

D) 320.

❌ Incorreta: acerta a largura (8 cm, usando a base), mas erra o comprimento ao usar o raio da borda (5 cm) — em vez do raio da base (4 cm) — como margem nas duas extremidades. Cálculo do erro: comprimento = 3×10 + 5 + 5 = 40 cm × largura 8 cm = 320 cm². É a confusão mais sutil: acerta a lógica do espaçamento entre taças, mas esquece que apenas a base precisa "caber" dentro da bandeja nas pontas também.

E) 400.

❌ Incorreta: é a "solução ingênua" que trata a taça inteira (não apenas a base) como se precisasse estar apoiada na bandeja, usando o diâmetro da borda superior (10 cm) tanto para o espaçamento quanto para a largura. Cálculo do erro: comprimento = 3×10 + 5 + 5 = 40 cm × largura 10 cm = 400 cm². Ignora completamente a informação central do enunciado — de que só a base precisa estar "totalmente apoiada".

🏆 Gabarito: C — a bandeja mínima mede 38 cm de comprimento (espaçamento de 10 cm entre centros, governado pela borda mais larga, mais 4 cm de margem de base em cada ponta) por 8 cm de largura (diâmetro da base, já que só ela precisa de apoio), totalizando 304 cm².

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: nenhuma outra alternativa concilia corretamente as duas restrições do problema (largura pela base, comprimento pela borda); todas as demais misturam as medidas de forma inconsistente, levando a áreas maiores ou menores do que a mínima real.
• Padrão de cobrança: o ENEM adora questões de geometria plana "disfarçadas" de situação cotidiana (bandejas, embalagens, estacionamentos, jardins), em que o desafio não é a fórmula em si (aqui, uma simples multiplicação de área de retângulo), mas identificar corretamente quais medidas do enunciado geram cada dimensão da figura.
• Generalização: em problemas de empacotamento de objetos com partes de tamanhos diferentes (base estreita e topo largo, por exemplo), o espaçamento entre os objetos é sempre ditado pela parte MAIS LARGA (para evitar colisão), enquanto o espaço de apoio é ditado pela parte que efetivamente toca a superfície.
• Dica de eliminação rápida: ao ver duas medidas diferentes (raios 4 e 5) e o termo "totalmente apoiadas" no enunciado, desconfie imediatamente de alternativas que usam a mesma medida (a maior, 5) tanto para largura quanto para comprimento — como a E (400) — pois isso normalmente indica que a informação-chave "base apoiada" foi ignorada.
• Conexões: problemas de otimização de área com restrição de não sobreposição (packing de círculos, cilindros, embalagens) e questões de geometria espacial que envolvem projeção de sólidos sobre uma base plana.