Questão 168 — ENEM 2017Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Função Quadrática (parábola) e Geometria Analítica
• ⚡ Nível: Difícil — a álgebra em si é simples, mas a figura exige uma leitura cuidadosa: a medida "5 metros" não é a base inteira do arco, e sim a distância do eixo de simetria até o pé da parábola
• 🎯 Tema/Habilidade: Modelar uma situação real (abóbada parabólica) por meio de uma função do 2º grau, extraindo dados numéricos de um gráfico
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "A partir das medidas indicadas na Figura 2, escreva a equação da parábola que representa o contorno da abóbada e calcule a altura H do vértice."
• Palavras-chave decisivas: abóbadas parabólicas, altura H, medidas hipotéticas
• Armadilha típica: os números 3, 4 e 5 formam o famoso terno pitagórico (3² + 4² = 5²). É tentador pensar em Teorema de Pitágoras ou em triângulos semelhantes, mas o contorno da abóbada é uma parábola, não um segmento de reta — a relação entre as medidas é quadrática, não linear. Outra armadilha é confundir a medida "5 metros" (que vai do eixo central até o pé da curva no chão) com a largura total da base do arco.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de traduzir três informações geométricas (duas raízes simétricas e um ponto da curva) em uma equação do 2º grau e resolver um sistema para isolar a altura do vértice.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Função quadrática (parábola): toda função da forma y = ax² + bx + c tem como gráfico uma parábola. Quando o eixo de simetria é o próprio eixo y (b = 0), a lei se reduz a y = ax² + c.
• Forma fatorada por raízes: se a parábola cruza uma reta de referência (aqui, o chão, y = 0) em dois pontos simétricos x = -m e x = m, ela pode ser escrita como y = a·(x - m)(x + m) = a·(x² - m²) — ideal quando já conhecemos as raízes.
• Vértice da parábola: ponto de valor máximo (concavidade para baixo, a < 0) ou mínimo (a > 0). Na abóbada, o vértice é o ponto mais alto do arco, com ordenada igual a H.
• Ponto extra para achar "a": conhecidas as raízes, um terceiro ponto (x, y) da curva basta para calcular o coeficiente a por substituição direta.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "H metros", com seta do chão até a linha tracejada que tangencia o topo do arco → H é a altura total da abóbada, do solo até o vértice da parábola.
• Evidência 2: "5 metros", do eixo de simetria vertical (linha central tracejada) até o ponto onde a curva encontra o solo, à direita → essa é a raiz da parábola: a curva "nasce" no chão a 5 m do eixo central (e, por simetria, também a 5 m do outro lado).
• Evidência 3: "4 metros" (do eixo até a curva) com "3 metros" (altura desse ponto) → isso fornece um ponto da curva: a 4 m do eixo, a parábola está a 3 m de altura.
• Síntese: com a origem (0, 0) no chão, sob o vértice, a parábola tem vértice em (0, H), raízes em x = -5 e x = 5, e passa pelo ponto (4, 3) — a equação fica totalmente determinada.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Montando a equação da parábola a partir das raízes

Como a curva corta o eixo x (o chão) em x = -5 e x = 5, escrevemos a forma fatorada:

y = a·(x - 5)(x + 5) = a·(x² - 25)

Como a concavidade é para baixo (o arco "desce" das duas laterais), o coeficiente a é negativo. O vértice está em x = 0, com y = H:

H = a·(0² - 25) = -25a

Subpasso 4.2 — Usando o ponto (4, 3) para encontrar o coeficiente a

O ponto (4, 3) pertence à curva, então substituímos x = 4 e y = 3 na equação:

3 = a·(4² - 25)

3 = a·(16 - 25)

3 = a·(-9)

a = 3 ÷ (-9) = -1/3

Subpasso 4.3 — Calculando H e verificando

Substituindo a = -1/3 na relação do vértice:

H = -25a = -25 × (-1/3) = 25/3

Verificação com os dois dados originais:

• Em x = 4: y = -1/3·(16 - 25) = -1/3·(-9) = 3 ✅ (bate com os "3 metros")

• Em x = 5: y = -1/3·(25 - 25) = 0 ✅ (a curva toca o chão, confirmando os "5 metros")

Logo, H = 25/3 m ≈ 8,33 m, valor que aparece exatamente em uma das alternativas.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 16/3

❌ Incorreta: surge de trocar os papéis das medidas 4 e 5 — tratar os "4 metros" como se fossem a metade da base (raiz da parábola) e os "5 metros" como se fossem a distância horizontal do ponto de altura 3. Refazendo o cálculo com raízes ±4 e ponto (5, 3), obtém-se |H| = 16/3, um valor que não corresponde à leitura correta da figura.

B) 31/5

❌ Incorreta: não corresponde a nenhuma leitura geometricamente válida da figura. Surge de um deslize ao operar a diferença de quadrados (5² - 4²) ou ao simplificar a fração final do sistema — erro de manipulação algébrica, não de interpretação do desenho.

C) 25/4

❌ Incorreta: decorre de inverter as coordenadas do ponto da curva, usando (3, 4) em vez de (4, 3) — ou seja, tratar os "3 metros" como a distância horizontal e os "4 metros" como a altura. Mantendo as raízes corretas (±5) mas com o ponto trocado, chega-se a H = 25/4, que não reflete a figura original.

D) 25/3

✅ Correta: é exatamente o valor obtido ao montar corretamente y = a(x² - 25) com as raízes x = ±5 (metade da base a partir do eixo central) e ao usar o ponto (4, 3) da curva, resultando em a = -1/3 e H = -25a = 25/3 m.

E) 75/2

❌ Incorreta: surge de um erro ao fatorar a diferença de quadrados m² - p² = (m - p)(m + p). Calculando esse denominador de forma equivocada como 2·(5 - 4) = 2, em vez de (5 - 4)(5 + 4) = 9, o numerador correto (25 × 3 = 75) fica dividido pelo denominador errado, dobrando indevidamente o resultado para 75/2.

🏆 Gabarito: D — a altura H = 25/3 metros é o único valor compatível com uma parábola de raízes x = ±5 (medidas a partir do eixo de simetria) que passa pelo ponto (4, 3), conforme mostram todas as verificações acima.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só H = 25/3 m satisfaz simultaneamente as três condições da figura — vértice em (0, H), raízes em x = ±5 e passagem pelo ponto (4, 3) — como comprovado pela verificação no Subpasso 4.3.
• Padrão de cobrança: o ENEM adora contextualizar função quadrática em arcos, pontes, jatos d'água e obras arquitetônicas (aqui, a Igreja da Pampulha de Oscar Niemeyer), sempre exigindo extrair coordenadas de uma figura antes de montar a equação.
• Generalização: conhecendo as duas raízes de uma parábola (pontos onde ela cruza uma reta de referência), use a forma fatorada y = a(x - x₁)(x - x₂) — ela reduz o problema a uma única substituição para achar "a", em vez de montar um sistema com três incógnitas.
• Dica de eliminação rápida: desconfie de alternativas obtidas por razão direta entre as medidas (somar ou dividir 3, 4 e 5) — se o fenômeno é parabólico, a relação é quadrática, e resultados vindos de regra de três ou Pitágoras (mesmo com o convite do terno 3-4-5) tendem a estar errados.
• Conexões: o mesmo raciocínio de "raízes + um ponto" aparece em lançamento de projéteis (altura em função do alcance) e em pontes suspensas com cabos parabólicos.