Questão 136 — ENEM 2017Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Matemática Financeira (juros compostos, valor atual/presente de uma série de pagamentos)
• ⚡ Nível: Difícil — não há números concretos: o candidato precisa modelar simbolicamente o desconto composto e acertar exatamente quantos períodos faltam para cada parcela.
• 🎯 Tema/Habilidade: Valor atual de parcelas em quitação antecipada com juros compostos — resolver situação-problema financeira usando raciocínio proporcional e exponencial.
• 🏆 Gabarito: A — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Qual expressão calcula, no instante do pagamento da 6ª parcela, o total pago para quitar de uma vez as parcelas que ainda faltam, descontando-as a juros compostos?"
• Palavras-chave decisivas: "no ato de pagar a 6ª parcela", "valor atual das parcelas ainda a pagar", "juros compostos"
• Armadilha típica: achar que a 6ª parcela também precisa ser descontada (como se faltasse 1 período para ela vencer), ou confundir desconto composto com juros simples nos termos seguintes.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de contar corretamente quantos períodos separam cada parcela restante do instante da quitação e aplicar o fator de desconto (1+i/100) elevado ao expoente certo em cada uma.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Juros compostos: o valor de uma quantia varia multiplicativamente a cada período pelo fator (1 + i), sendo i a taxa em forma decimal.
• Valor atual (presente) de um pagamento futuro: para trazer uma quantia que vence daqui a n períodos para o instante presente, divide-se por (1 + i)ⁿ, isto é, PV = FV ÷ (1 + i)ⁿ.
• Parcelas fixas (Sistema Price): todas as parcelas têm o mesmo valor nominal P, mas o valor presente de cada uma depende de quão distante ela está do instante de referência.
• Quitação antecipada: pagar "hoje" o equivalente a todas as parcelas futuras significa somar o valor cheio da parcela que vence agora com os valores presentes (descontados) das parcelas vincendas posteriores.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "Após pagar a 5ª parcela, resolve quitar a dívida no ato de pagar a 6ª parcela." → O instante de referência (o "presente" do cálculo) é exatamente o momento do pagamento da 6ª parcela. Ela vence agora, então é paga pelo valor cheio, sem desconto algum.
• Evidência 2: "pagando para isso o valor atual das parcelas ainda a pagar" → Só as parcelas que vencem depois desse instante — a 7ª e a 8ª — precisam ser trazidas a valor presente por juros compostos.
• Síntese: o valor total da quitação é a soma de três parcelas de P, cada uma descontada por um número diferente de períodos: 0 (a 6ª, valor cheio), 1 (a 7ª, um mês à frente) e 2 (a 8ª, dois meses à frente).

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Organizando a linha do tempo

São 8 parcelas iguais a P, vencendo mês a mês. Depois de pagar a 5ª, restam a 6ª, a 7ª e a 8ª. No instante em que a 6ª parcela é paga (chame esse instante de "agora"):

• a 6ª vence exatamente agora → não sofre desconto: entra como P, ou seja, P ÷ (1 + i/100)⁰;
• a 7ª venceria 1 mês depois → é descontada por 1 período: P ÷ (1 + i/100)¹;
• a 8ª venceria 2 meses depois → é descontada por 2 períodos: P ÷ (1 + i/100)².

Subpasso 4.2 — Montando a expressão

Somando as três parcelas trazidas a valor presente no instante da quitação:

Total = P + P/(1 + i/100) + P/(1 + i/100)²

Colocando P em evidência:

Total = P · [ 1 + 1/(1 + i/100) + 1/(1 + i/100)² ]

Subpasso 4.3 — Verificação

Confira a estrutura: dentro dos colchetes aparecem exatamente 3 termos (um para cada parcela restante — 6ª, 7ª e 8ª), com expoentes crescentes 0, 1 e 2, todos usando o mesmo fator de juros compostos (1 + i/100). O "1" isolado no início representa o expoente zero (a 6ª parcela, sem desconto). Essa estrutura casa exatamente com a alternativa A.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) P[1 + 1/(1+i/100) + 1/(1+i/100)²]

✅ Correta: reproduz fielmente o raciocínio — a 6ª parcela entra com valor cheio (fator 1, expoente 0), a 7ª descontada por 1 período e a 8ª por 2 períodos, todas usando o mesmo fator de juros compostos (1 + i/100) elevado a expoentes crescentes.

B) P[1 + 1/(1+i/100) + 1/(1+2i/100)]

❌ Incorreta: o último termo troca (1 + i/100)² por (1 + 2i/100), como se dobrar o número de períodos significasse dobrar a taxa dentro de um único fator — isso é o padrão de juros simples, não de juros compostos, e contraria explicitamente o enunciado.

C) P[1 + 1/(1+i/100)² + 1/(1+i/100)²]

❌ Incorreta: os dois últimos termos aparecem com o mesmo expoente 2, como se a 7ª e a 8ª parcela estivessem à mesma distância temporal do instante da quitação. Na verdade a 7ª está a 1 período (expoente 1) e só a 8ª está a 2 períodos (expoente 2) — a expressão "esquece" de diferenciar as duas parcelas restantes.

D) P[1/(1+i/100) + 1/(1+2i/100) + 1/(1+3i/100)]

❌ Incorreta: comete dois erros ao mesmo tempo — descarta o termo "1" isolado, tratando erroneamente até a 6ª parcela como se faltasse 1 período para o vencimento; e ainda substitui os expoentes de juros compostos (1, 2) por uma progressão de juros simples (i, 2i, 3i) nos denominadores.

E) P[1/(1+i/100) + 1/(1+i/100)² + 1/(1+i/100)³]

❌ Incorreta: usa corretamente o regime de juros compostos nos expoentes (1, 2, 3), mas erra o referencial temporal — não há o termo "1" isolado (expoente 0), como se o instante da quitação fosse anterior ao pagamento da 6ª parcela, deslocando todos os expoentes em uma unidade a mais do que deveriam.

🏆 Gabarito: A — é a única expressão em que o número de termos (três, um para cada parcela restante), os expoentes (0, 1 e 2) e o regime de juros compostos (1 + i/100) coincidem exatamente com a estrutura temporal do problema.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a alternativa A contabiliza corretamente que a 6ª parcela é paga por valor cheio (expoente zero) e que a 7ª e a 8ª são descontadas por juros compostos com expoentes 1 e 2, nessa ordem.
• Padrão de cobrança: o ENEM costuma cobrar matemática financeira de forma simbólica, sem números concretos, testando se o aluno sabe montar a fórmula de valor presente de uma série de pagamentos, e não apenas fazer contas.
• Generalização: em qualquer quitação antecipada feita no instante de uma parcela, essa parcela específica entra por valor cheio (fator 1, expoente 0), e cada parcela seguinte é descontada por mais um período que a anterior, sempre pelo mesmo fator (1 + i/100) elevado a expoentes consecutivos.
• Dica de eliminação rápida: conte os termos dentro dos colchetes — devem ser exatamente 3 (as parcelas 6ª, 7ª e 8ª) e o primeiro deles deve ser "1" isolado (sem denominador). Isso já elimina D e E de cara. Depois, verifique se os expoentes crescem como 0, 1, 2 usando o mesmo fator (1 + i/100) — isso elimina B e C, que misturam progressões de juros simples ou repetem expoentes.
• Conexões: este tipo de raciocínio aparece também no Sistema Price de amortização e no cálculo de valor presente líquido (VPL), temas centrais de matemática financeira aplicada.