Questão 148 — ENEM 2017Caderno azul · 2º Dia

📋 Ficha da questão

• Matéria: Matemática → Geometria espacial → identificação de sólidos e seus elementos
• Habilidade: H7 — identificar características de figuras planas ou espaciais
• Nível: Fácil — não há conta nenhuma; o risco é responder pela fotografia em vez de responder pelo esquema
• Gabarito: revelado no Passo 4

🔎 Passo 1 — Leitura estratégica do comando

• O comando, em uma linha: que sólido tem as arestas desenhadas na Figura 2.
• Palavras-chave decisivas: a superfície cujas arestas estão representadas na Figura 2.
• A armadilha: olhar a Figura 1. A fotografia mostra uma cabana de madeira que, de frente e a certa distância, parece afunilar para o alto como uma pirâmide truncada. O comando, porém, aponta explicitamente para a Figura 2, que é o esquema de arestas — e é lá que a resposta está.
• O que a resposta precisa mostrar: que você identifica um poliedro contando vértices, arestas e faces, sem depender da impressão visual.

📚 Passo 2 — Revisão do conteúdo

• Prisma: poliedro com duas faces poligonais congruentes e paralelas — as bases — ligadas por faces laterais que são paralelogramos. O prisma é reto quando as arestas laterais são perpendiculares às bases; nesse caso as faces laterais são retângulos. O nome vem do polígono da base: base triangular, prisma triangular; base quadrangular, prisma quadrangular.
• Pirâmide: poliedro com uma base poligonal e um único vértice fora do plano dela, o ápice, ao qual todas as faces laterais convergem. O sinal gráfico é inequívoco: existe um ponto onde várias arestas se encontram e acima do qual não há mais nada.
• Tronco de pirâmide: o que sobra de uma pirâmide quando se corta o topo por um plano paralelo à base. Tem duas faces paralelas semelhantes, mas de tamanhos diferentes, e faces laterais trapezoidais.
• Tetraedro: a pirâmide de base triangular. Tem 4 vértices, 6 arestas e 4 faces, todas triangulares. É o poliedro de menor número de faces que existe.
• Contagem como critério: cada sólido tem uma assinatura numérica. Tetraedro: 4 vértices, 6 arestas. Pirâmide de base retangular: 5 vértices, 8 arestas. Prisma triangular: 6 vértices, 9 arestas, 5 faces. Prisma quadrangular: 8 vértices, 12 arestas, 6 faces. Tronco de pirâmide retangular: 8 vértices, 12 arestas. Contar resolve a questão sem depender do desenho em perspectiva.

🧭 Passo 3 — Decodificação do enunciado

• Evidência 1: na Figura 2, o alto da estrutura é uma aresta, um segmento que liga dois vértices — não é um ponto. Toda pirâmide termina em um ponto único; essa estrutura termina em uma linha.
• Evidência 2: a base, desenhada em parte com linha tracejada porque fica oculta, é um quadrilátero, com quatro vértices.
• Evidência 3: somando os dois vértices do topo aos quatro da base, a figura tem 6 vértices. Contando os segmentos: 4 na base, 1 no topo e 4 ligando o topo à base, o que dá 9 arestas.
• Evidência 4: as marcas de ângulo reto espalhadas pelos vértices indicam perpendicularidade entre as arestas laterais e as faces das extremidades — é o dado que qualifica o sólido como reto.
• Evidência 5: as duas extremidades da estrutura, do lado esquerdo e do lado direito, são triângulos — cada uma fechada por três arestas, duas inclinadas e uma da base.
• Síntese: 6 vértices, 9 arestas, duas faces triangulares congruentes e paralelas nas pontas e três faces retangulares entre elas. Essa é exatamente a assinatura do prisma triangular reto, deitado sobre uma de suas faces laterais.

🧠 Passo 4 — Resolução passo a passo

4.1 — Descartar as pirâmides pela ausência de ápice

O teste mais rápido é procurar um ponto onde três ou mais arestas se encontrem e a partir do qual não haja continuação. Na Figura 2 esse ponto não existe: o topo é um segmento inteiro, com um vértice em cada extremidade. Isso elimina de uma vez o tetraedro e a pirâmide de base retangular, que são pirâmides por definição.

4.2 — Descartar o tronco de pirâmide pela contagem

O tronco de pirâmide retangular teria duas faces retangulares paralelas de tamanhos diferentes, ligadas por quatro trapézios — 8 vértices e 12 arestas. A figura tem 6 vértices e 9 arestas. É a fotografia da cabana que sugere o tronco; o esquema não confirma.

4.3 — Identificar as bases do prisma

Restam os dois prismas, e o que os separa é o polígono da base. Bases de um prisma são as duas faces congruentes e paralelas entre si. Na figura, essas duas faces são as extremidades laterais, e cada uma é fechada por três arestas: é um triângulo. Logo, o prisma é triangular, e não quadrangular.

Repare que o sólido está apoiado sobre uma face lateral retangular — o chão da cabana. Isso não muda a classificação: a base geométrica do prisma é o triângulo, esteja o sólido em pé ou deitado.

4.4 — Verificação

O sólido tem 2 faces triangulares e 3 faces retangulares, total de 5 faces, com 6 vértices e 9 arestas. Conferindo pela relação de Euler, V − A + F = 6 − 9 + 5 = 2, como deve ser para todo poliedro convexo. As marcas de ângulo reto confirmam que se trata de um prisma reto. Gabarito: E.

✅❌ Passo 5 — Análise das alternativas

❌ (A) tetraedro — O tetraedro é a pirâmide de base triangular: 4 vértices, 6 arestas e 4 faces, todas triangulares. A Figura 2 tem 6 vértices e 9 arestas, e traz faces retangulares. Além disso, tetraedro tem ápice, e o topo da estrutura é uma aresta.

❌ (B) pirâmide retangular — Teria base retangular e um único vértice no alto, para onde convergiriam as quatro arestas laterais: 5 vértices e 8 arestas. A figura não tem ápice — o topo é um segmento com dois vértices. Confunde quem olha a silhueta afunilada da cabana em vez do esquema.

❌ (C) tronco de pirâmide retangular — O distrator mais forte, porque é a impressão que a fotografia da Figura 1 realmente passa: paredes inclinadas subindo em direção a um topo menor. Mas o tronco exige duas faces paralelas semelhantes e de tamanhos diferentes, ligadas por trapézios, com 8 vértices e 12 arestas. No esquema, o "topo menor" é uma aresta simples, sem largura — não existe segunda face paralela à base.

❌ (D) prisma quadrangular reto — Acerta o tipo de sólido, mas erra o polígono da base. Prisma quadrangular tem bases de quatro lados, portanto 8 vértices, 12 arestas e 6 faces. A figura tem 6 vértices, 9 arestas e 5 faces. O engano vem de identificar como base o quadrilátero do chão, que na verdade é uma face lateral do prisma.

✅ (E) prisma triangular reto — A figura tem duas faces triangulares congruentes e paralelas nas extremidades, unidas por três faces retangulares — o piso e os dois planos inclinados do telhado. São 6 vértices, 9 arestas e 5 faces, e as marcas de ângulo reto indicam que as arestas laterais são perpendiculares às faces triangulares. O sólido aparece deitado sobre uma face lateral, o que não altera a classificação.

Gabarito: E — o topo é uma aresta e não um ápice, as extremidades são triângulos congruentes e paralelos, e a contagem de 6 vértices com 9 arestas fecha exatamente com a do prisma triangular.

🏁 Passo 6 — Generalização e dica de prova

• Por que só E se sustenta: A e B exigem ápice, que não existe; C e D exigem 8 vértices, e a figura tem 6.
• Como o ENEM cobra isso: a prova gosta de pôr uma foto ao lado de um esquema de arestas e perguntar pelo esquema. A foto sempre sugere outro sólido — é a função dela na questão. Leia o comando: ele diz qual figura vale.
• A regra geral: para nomear um poliedro, conte vértices e arestas antes de confiar na perspectiva. Se o topo for um ponto, é pirâmide; se for uma aresta, é prisma; se for um polígono paralelo à base e menor que ela, é tronco.
• Eliminação em 30 segundos: procure o ápice. Não achou, cortou A e B. Conte os vértices: 6 elimina C e D de uma vez, porque ambos precisam de 8.
• Temas que costumam vir junto: relação de Euler, planificações de prismas e pirâmides, volume e área de superfície de prismas, e identificação de sólidos em embalagens e construções.