Questão 166 — ENEM 2017Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Funções trigonométricas (amplitude, valor médio e período da função cosseno)
• ⚡ Nível: Médio — exige extrair três parâmetros (A, B e k) de dados clínicos e converter "batimentos por minuto" em período medido em segundos
• 🎯 Tema/Habilidade: Modelagem com função trigonométrica: relacionar máximo, mínimo e frequência aos coeficientes da função
• 🏆 Gabarito: A — revelado após a resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Sabendo que a pressão varia entre 78 e 120 e que o coração bate 90 vezes por minuto, quais são os valores de A, B e k em P(t) = A + B·cos(kt)?"
• Palavras-chave decisivas: pressão mínima 78, pressão máxima 120, 90 batimentos por minuto, t medido em segundo, um batimento = intervalo entre duas pressões máximas
• Armadilha típica: confundir os papéis de A e B — usar A = 78 (a pressão mínima) e B = 42 (a diferença máx − mín). A é o valor médio (o eixo em torno do qual a pressão oscila) e B é a semi-amplitude (metade da variação). A segunda armadilha é esquecer que t está em segundos, e não em minutos.
• O que a resposta precisa demonstrar: domínio da relação entre os coeficientes de A + B·cos(kt) e as características do gráfico: máximo = A + B, mínimo = A − B, período = 2π/k.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Imagem do cosseno: cos(kt) varia entre −1 e +1, sempre. Portanto, P(t) = A + B·cos(kt) tem valor máximo A + B (quando cos = 1) e valor mínimo A − B (quando cos = −1), com B > 0.
• Como isolar A e B: somando e subtraindo as duas equações, chega-se a duas fórmulas úteis: A = (máx + mín)/2 (a média, ou "linha do meio" da oscilação) e B = (máx − mín)/2 (metade da variação total).
• Período: o período T de cos(kt) é T = 2π/k, ou seja, k = 2π/T. O período é o tempo que a função leva para repetir o ciclo completo — no problema, o tempo de um batimento (de uma pressão máxima até a próxima).
• Frequência → período: 90 batimentos por minuto = 90 batimentos a cada 60 segundos. Logo, cada batimento dura T = 60/90 = 2/3 segundo.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1 (quadro): "Pressão mínima 78 | Pressão máxima 120" → P assume valores no intervalo [78, 120]. Esses são exatamente o mínimo A − B e o máximo A + B da função.
• Evidência 2 (quadro): "Número de batimentos cardíacos por minuto: 90" → frequência de 90 ciclos por minuto. Como t é medido em SEGUNDOS, é obrigatório converter: T = 60 s ÷ 90 = 2/3 s.
• Evidência 3: "um batimento cardíaco representa o intervalo de tempo entre duas sucessivas pressões máximas" → o enunciado define explicitamente que um batimento é UM PERÍODO da função. Essa frase existe para autorizar T = 2/3 s.
• Síntese: temos tudo. Máximo e mínimo dão A e B; a frequência dá T, e T dá k. Basta calcular.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Encontrar A e B a partir do máximo e do mínimo

Como cos(kt) oscila entre −1 e +1:

• Pressão máxima: A + B = 120
• Pressão mínima: A − B = 78

Somando as duas equações:

(A + B) + (A − B) = 120 + 78

2A = 198

A = 99

Subtraindo a segunda da primeira:

(A + B) − (A − B) = 120 − 78

2B = 42

B = 21

Confira o significado: 99 é o valor médio entre 78 e 120 (a "linha central" da oscilação), e 21 é a metade da variação total de 42. Já dá para eliminar todas as alternativas que começam com 78.

Subpasso 4.2 — Encontrar k a partir da frequência cardíaca

São 90 batimentos por minuto, e cada batimento equivale a um período completo. Como um minuto tem 60 segundos:

T = 60 s ÷ 90 batimentos = 2/3 s por batimento

A relação entre período e k na função cosseno é T = 2π/k, ou seja:

k = 2π ÷ T

k = 2π ÷ (2/3)

k = 2π × (3/2)

k = 3π

Subpasso 4.3 — Verificação

Montando a função: P(t) = 99 + 21·cos(3πt)

Vamos testá-la:

• Em t = 0: P = 99 + 21·cos(0) = 99 + 21·1 = 120 ✓ (pressão máxima)
• Em t = 1/3 s: 3π · (1/3) = π → P = 99 + 21·cos(π) = 99 + 21·(−1) = 78 ✓ (pressão mínima)
• Em t = 2/3 s: 3π · (2/3) = 2π → P = 99 + 21·cos(2π) = 99 + 21·1 = 120 ✓ (de volta à máxima)

A função volta à pressão máxima a cada 2/3 de segundo — ou seja, 90 vezes por minuto, exatamente como o quadro informa. Todos os três dados clínicos são reproduzidos.

Essa é a função da alternativa A.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) P(t) = 99 + 21cos(3πt)

✅ Correta: A = 99 é o valor médio entre 78 e 120; B = 21 é a semi-amplitude (metade de 42); e k = 3π resulta do período T = 2/3 s exigido por 90 batimentos por minuto (k = 2π/T = 2π ÷ 2/3 = 3π). A função reproduz máximo 120, mínimo 78 e frequência de 90 bpm.

B) P(t) = 78 + 42cos(3πt)

❌ Incorreta: o coeficiente k está certo, mas A e B estão trocados de papel. Aqui A = 78 (a pressão mínima) e B = 42 (a variação total). O teste derruba: o mínimo dessa função seria 78 − 42 = 36, e não 78. A é o valor médio da oscilação, não o piso dela.

C) P(t) = 99 + 21cos(2πt)

❌ Incorreta: A e B estão certos (99 e 21), mas k = 2π corresponde a período T = 2π/2π = 1 segundo, ou seja, 60 batimentos por minuto. O quadro pede 90 bpm. É o erro de esquecer a conversão: usar a frequência "por minuto" como se t estivesse em minutos.

D) P(t) = 99 + 21cos(t)

❌ Incorreta: A e B corretos, mas k = 1 dá período T = 2π ≈ 6,28 segundos por batimento — cerca de 9,5 batimentos por minuto, uma bradicardia incompatível com a vida. O erro é simplesmente ignorar o dado dos 90 batimentos e não calcular k.

E) P(t) = 78 + 42cos(t)

❌ Incorreta: acumula os dois erros anteriores. Confunde a pressão mínima (78) com o valor médio e a variação total (42) com a semi-amplitude — o que daria mínimo de 36 — e ainda usa k = 1, um período de ≈ 6,28 s, contrariando os 90 batimentos por minuto.

🏆 Gabarito: A — de máximo 120 e mínimo 78 vêm A = (120 + 78)/2 = 99 e B = (120 − 78)/2 = 21; de 90 batimentos por minuto vem T = 2/3 s e k = 2π/T = 3π. Logo, P(t) = 99 + 21cos(3πt).

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: A é a única alternativa que satisfaz os três dados do quadro ao mesmo tempo. B e E erram o mínimo (dariam 36); C e D erram a frequência (60 e ~9,5 bpm, respectivamente, em vez de 90).
• Padrão de cobrança: o ENEM adora funções trigonométricas em contextos periódicos reais — pressão arterial, marés, temperatura ao longo do ano, roda-gigante, corrente alternada. O modelo é sempre f(t) = A + B·cos(kt) ou A + B·sen(kt), e o que muda é só a leitura dos parâmetros.
• Generalização: para qualquer f(t) = A + B·cos(kt), decore o trio: A = (máx + mín)/2, B = (máx − mín)/2 e k = 2π/período. Com esses três, você monta a função de olhos fechados.
• Dica de eliminação rápida: calcule só A = (120 + 78)/2 = 99 — em cinco segundos você elimina B e E. Depois calcule o período: 90 batimentos em 60 s → 2/3 s por batimento; como período = 2π/k, k tem de ser maior que 2π. Isso mata C (k = 2π, período de 1 s) e D (k = 1). Sobra A.
• Conexões: amplitude, período e frequência em Física (Movimento Harmônico Simples e ondas), gráficos de seno e cosseno e transformações de funções (translação vertical e mudança de escala horizontal).