Questão 151 — ENEM 2017Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Estatística básica (média ponderada) e resolução de inequações do 1º grau
• ⚡ Nível: Médio — exige montar corretamente uma média ponderada com uma incógnita e resolver uma inequação, além de interpretar o critério de aprovação (mínimo, não qualquer valor que sirva)
• 🎯 Tema/Habilidade: Média ponderada aplicada a um contexto real de avaliação escolar (competência de tratamento de dados e resolução de problemas com equações/inequações)
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Qual é a menor nota que o aluno precisa tirar na disciplina I para que sua média ponderada final alcance o patamar mínimo exigido para o conceito 'Bom'?"
• Palavras-chave decisivas: média ponderada, nota mínima, créditos
• Armadilha típica: confundir o valor do "corte" da média (7,00) com a resposta da questão — a nota mínima na disciplina I. São coisas diferentes: 7,00 é a média que o conjunto de disciplinas precisa atingir, não a nota que falta tirar em uma única disciplina de peso 12.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de montar a expressão da média ponderada com uma variável desconhecida, transformar a exigência "média ≥ 7,00" em uma inequação e isolar corretamente essa variável.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Média ponderada: diferente da média aritmética simples, cada valor (nota) é multiplicado por um "peso" (aqui, o número de créditos) antes de somar; o resultado é dividido pela soma total dos pesos, não pela quantidade de valores.
• Peso proporcional ao impacto: quanto maior o número de créditos de uma disciplina, maior sua influência na média final — por isso a disciplina I (12 créditos) pesa mais do que qualquer outra disciplina do curso do aluno.
• Inequação linear com uma incógnita: quando a exigência é "no mínimo tal valor", a nota buscada é a solução de fronteira de uma desigualdade (≥), e o menor valor que ainda satisfaz a condição corresponde à igualdade.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1 (quadro/tabela): o quadro mostra as disciplinas II a V já com nota e crédito definidos — II: 8,00 (4 créditos); III: 6,00 (8 créditos); IV: 5,00 (8 créditos); V: 7,50 (10 créditos) — e a disciplina I com 12 créditos, mas nota ainda não realizada → é essa nota (x) que precisamos descobrir.
• Evidência 2: "se obtiver avaliação 'Bom' ou 'Excelente' conseguirá matrícula" → basta atingir o menor dos dois patamares aceitáveis, ou seja, o piso do conceito "Bom" (média ponderada igual a 7,00), pois isso já garante o objetivo — não é necessário mirar em "Excelente".
• Síntese: o problema pede o menor valor de x que, combinado aos créditos e notas já fixados, faz a média ponderada das cinco disciplinas atingir exatamente 7,00 — o piso da faixa "Bom".

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Somar os créditos totais e o "peso × nota" das disciplinas já avaliadas

Total de créditos das 5 disciplinas:

12 + 4 + 8 + 8 + 10 = 42 créditos

Soma de (nota × créditos) das disciplinas já realizadas (II, III, IV e V):

• II: 8,00 × 4 = 32,00
• III: 6,00 × 8 = 48,00
• IV: 5,00 × 8 = 40,00
• V: 7,50 × 10 = 75,00

Soma parcial = 32,00 + 48,00 + 40,00 + 75,00 = 195,00

Subpasso 4.2 — Montar e resolver a inequação da média ponderada

Chamando de x a nota da disciplina I (peso 12), a média ponderada (MP) das cinco disciplinas é:

MP = (12x + 195) / 42

Para garantir o conceito "Bom" (ou melhor), é preciso MP ≥ 7,00:

(12x + 195) / 42 ≥ 7,00

12x + 195 ≥ 7,00 × 42

12x + 195 ≥ 294

12x ≥ 294 − 195

12x ≥ 99

x ≥ 99 / 12

x ≥ 8,25

Como a questão pede a nota mínima, o menor valor que satisfaz a inequação é exatamente x = 8,25.

Subpasso 4.3 — Verificação

Substituindo x = 8,25 na expressão da média:

MP = (12 × 8,25 + 195) / 42 = (99 + 195) / 42 = 294 / 42 = 7,00

A média fecha exatamente no piso de "Bom", confirmando que 8,25 é a menor nota possível que ainda cumpre a exigência — resultado idêntico à alternativa D.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

Para julgar cada alternativa, basta recalcular a média ponderada resultante MP = (12x + 195)/42 usando o valor de x proposto e comparar com o piso 7,00:

A) 7,00.

❌ Incorreta: é o erro conceitual mais comum da questão — o aluno copia o valor da meta (a média exigida) como se fosse a resposta, sem considerar o peso da disciplina I nem os dados das demais. Substituindo x = 7,00: MP = (12×7 + 195)/42 = 279/42 ≈ 6,64, resultado que fica abaixo de 7,00 e classificaria o aluno apenas como "Regular", não atingindo o objetivo.

B) 7,38.

❌ Incorreta: é um valor intermediário plausível para quem erra a montagem da equação (por exemplo, trocando algum peso ou cometendo deslize na soma), mas não resolve o problema. Com x = 7,38: MP = (12×7,38 + 195)/42 = 283,56/42 ≈ 6,75 — ainda insuficiente para alcançar "Bom".

C) 7,50.

❌ Incorreta: repete, por associação indevida, a nota já registrada na disciplina V (7,50), como se bastasse igualar a maior nota já obtida. Com x = 7,50: MP = (12×7,5 + 195)/42 = 285/42 ≈ 6,79 — continua abaixo do piso de 7,00, não sendo suficiente.

D) 8,25.

✅ Correta: é exatamente a solução da inequação 12x + 195 ≥ 294, o menor valor de x que faz a média ponderada atingir 7,00 (o piso de "Bom"). Nenhum valor menor cumpre a exigência, e valores maiores, embora também aprovem o aluno, não seriam a nota mínima pedida.

E) 9,00.

❌ Incorreta como resposta ao que foi pedido, embora numericamente "funcione": com x = 9,00, MP = (12×9 + 195)/42 = 303/42 ≈ 7,21, valor que de fato garante o conceito "Bom". O erro é conceitual, não de cálculo: 9,00 não é a nota mínima exigida, é apenas o valor que corresponderia ao piso do conceito "Excelente" copiado diretamente — a alternativa ignora que uma nota menor (8,25) já é suficiente para atingir o objetivo do aluno.

🏆 Gabarito: D — 8,25 é a única nota que resolve a igualdade-limite da inequação, sendo o menor valor de x que faz a média ponderada das cinco disciplinas alcançar exatamente 7,00, o piso mínimo do conceito "Bom".

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: apenas x = 8,25 satisfaz simultaneamente duas condições — cumprir a inequação MP ≥ 7,00 e ser o menor valor possível para isso, exatamente o que a pergunta "nota mínima" exige.
• Padrão de cobrança: o ENEM cobra médias ponderadas com frequência em contextos de notas escolares, misturas, densidades e pesquisas estatísticas — sempre pedindo para isolar uma variável desconhecida dentro da fórmula da média.
• Generalização: sempre que o problema pedir "o valor mínimo/máximo para atingir uma média X", escreva a expressão completa da média com a incógnita, iguale-a ao valor-limite (não à desigualdade estrita) e isole a variável — o valor de fronteira é a resposta.
• Dica de eliminação rápida: desconfie de alternativas que repetem números que já aparecem "prontos" no enunciado (como 7,00, a meta, ou 7,50, uma nota já dada) — geralmente são armadilhas de quem não fez a conta, só copiou um dado da tabela.
• Conexões: o mesmo raciocínio aparece em questões de mistura de soluções (concentração ponderada pelo volume) e em cálculos de densidade média de misturas de materiais — todos usam a mesma estrutura de "soma dos produtos dividida pela soma dos pesos".