Questão 149 — ENEM 2017Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Probabilidade (regra de Laplace, eventos equiprováveis)
• ⚡ Nível: Difícil — exige decodificar uma figura de jogo (Campo Minado) e aplicar um raciocínio probabilístico não padronizado a cada casa isolada, sem fórmula pronta a decorar.
• 🎯 Tema/Habilidade: Cálculo de probabilidade em contextos de contagem finita — competência de Matemática e suas Tecnologias ligada a raciocínio combinatório-probabilístico aplicado.
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Entre as cinco casas fechadas P, Q, R, S e T, qual tem a MENOR chance de esconder uma mina, considerando os números já revelados nas casas vizinhas?"
• Palavras-chave decisivas: menor probabilidade, 8 vizinhos, ao acaso, de forma uniforme
• Armadilha típica: achar que o próprio número da casa aberta (1, 2, 3 ou 4) já é a resposta direta, comparando "quem tem o menor número" em vez de transformar cada número numa fração de risco.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de traduzir cada pista numérica em uma razão (minas ÷ vizinhos fechados) e de tratar corretamente a casa que não tem pista nenhuma por perto.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Regra de Laplace: P(evento) = casos favoráveis ÷ casos possíveis, válida quando todos os casos são igualmente prováveis — aqui, a posição da mina entre as células "candidatas" de uma mesma pista.
• Vizinhança de 8 casas: no Campo Minado, toda casa que não está na borda do tabuleiro tem exatamente 8 vizinhas (cima, baixo, dois lados e quatro diagonais).
• Distribuição uniforme local: se uma casa aberta mostra "n minas entre meus vizinhos fechados" e nada mais liga essas vizinhas a outras pistas, cada vizinha fechada tem probabilidade n ÷ (nº de vizinhas fechadas) de ser mina — é a mesma lógica de "n bolas pretas entre k urnas idênticas".
• Densidade global: uma casa sem nenhuma pista ao redor só pode ser avaliada pela proporção geral de minas no tabuleiro (minas restantes ÷ casas fechadas restantes).

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "os números em suas faces indicam quantos dos seus 8 vizinhos contém minas" → cada número aberto é uma pista local, válida só para as 8 casas ao redor daquela casa específica.
• Evidência 2: "40 minas... posições escolhidas ao acaso, de forma uniforme" → garante que, na ausência de pista, todas as casas fechadas têm a mesma chance de conter mina, dando a taxa de referência para comparação.
• Evidência 3 (da figura): o tabuleiro é uma malha 16×16; P está colada logo abaixo da casa "2", Q logo abaixo da casa "1", T logo abaixo da casa "3" e S logo abaixo da casa "4" — todas essas quatro casas numeradas ficam no "miolo" do tabuleiro (nenhuma toca borda ou canto). Já R aparece isolada, a vários quadrados de distância de qualquer número.
• Síntese: para P, Q, S e T basta calcular (número da pista) ÷ 8; para R, não há pista, então se usa a densidade média do tabuleiro. Depois é só ordenar as cinco frações.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Localizando as casas na malha 16 × 16

Numerando linhas e colunas de 1 a 16 a partir do canto superior esquerdo da figura:

• casa "2" está na linha 4, coluna 2; P é a casa imediatamente abaixo (linha 5, coluna 2);
• casa "1" está na linha 4, coluna 6; Q é a casa imediatamente abaixo (linha 5, coluna 6);
• casa "3" está na linha 13, coluna 13; T é a casa imediatamente abaixo (linha 14, coluna 13);
• casa "4" está na linha 15, coluna 4; S é a casa imediatamente abaixo (linha 16, coluna 4);
• R está isolada na linha 9, coluna 4 — nenhuma casa numerada aparece entre suas 8 vizinhas.

Subpasso 4.2 — Contando os vizinhos fechados de cada pista

As quatro casas numeradas (2, 1, 3 e 4) têm linha e coluna sempre entre 2 e 15 — ou seja, nenhuma delas encosta na borda do tabuleiro. Isso garante que cada uma tem exatamente 8 vizinhas, e, como nenhuma dessas 8 já foi aberta (só a própria casa numerada), o denominador é sempre 8:

• P(P = mina) = 2 ÷ 8 = 1/4 = 25%
• P(Q = mina) = 1 ÷ 8 = 12,5%
• P(T = mina) = 3 ÷ 8 = 37,5%
• P(S = mina) = 4 ÷ 8 = 1/2 = 50%

Subpasso 4.3 — Calculando a probabilidade de R (sem pista local)

Sem nenhum número vizinho, a melhor estimativa para R é a taxa média do tabuleiro. Das 256 casas totais, 4 já foram abertas (e certamente não são minas); restam 252 casas fechadas disputando as 40 minas:

P(R = mina) = 40 ÷ 252 ≈ 15,9%

(Usando a aproximação simplificada 40 ÷ 256 ≈ 15,6% chega-se à mesma conclusão — a pequena diferença não muda a ordem final.)

Subpasso 4.4 — Verificação: ordenando as cinco probabilidades

Q (12,5%) < R (≈ 15,9%) < P (25%) < T (37,5%) < S (50%)

Q é, disparado, a menor de todas: a pista "1" reparte uma única mina entre 8 candidatas — a mais "diluída" entre as quatro pistas numéricas — e ainda assim fica abaixo até da média geral do tabuleiro, que R carrega. P já dobra o risco de Q, T o triplica e S o quadruplica.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) P.

❌ Incorreta: P(mina) = 2 ÷ 8 = 25%. A casa "2" indica 2 minas espalhadas entre suas 8 vizinhas fechadas, o que dá a P um risco quatro vezes maior que o de Q — longe de ser a melhor escolha.

B) Q.

✅ Correta: P(mina) = 1 ÷ 8 = 12,5%, a menor entre as cinco. A pista "1" reparte apenas 1 mina entre 8 vizinhas fechadas, e essa fração fica abaixo até da densidade média do tabuleiro (≈15,9%), tornando Q a jogada mais segura.

C) R.

❌ Incorreta: sem nenhuma pista numérica ao redor, R só pode ser avaliada pela proporção geral de minas restantes (40 ÷ 252 ≈ 15,9%) — maior que os 12,5% de Q, porque não há informação extra reduzindo a incerteza sobre essa casa.

D) S.

❌ Incorreta: P(mina) = 4 ÷ 8 = 50%. Metade das vizinhas fechadas da casa "4" contém mina — é a pior opção entre as cinco letras, a última que um jogador racional abriria.

E) T.

❌ Incorreta: P(mina) = 3 ÷ 8 = 37,5%. A pista "3" indica uma proporção de risco quase três vezes maior que a de Q, eliminando T como candidata à menor probabilidade.

🏆 Gabarito: B — Q tem probabilidade 1/8 = 12,5% de conter mina, a menor entre as cinco casas, pois sua pista vizinha ("1") reparte apenas uma mina entre 8 candidatas, ficando abaixo até da densidade média do tabuleiro.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: nenhuma outra letra chega perto dos 12,5% de Q — R fica em ≈15,9% (sem pista), P em 25%, T em 37,5% e S em 50%, então Q é matematicamente a única resposta possível.
• Padrão de cobrança: o ENEM adora embutir probabilidade em contextos lúdicos (jogos, sorteios, loterias, tabuleiros) que escondem uma aplicação direta da regra de Laplace por trás de uma narrativa divertida — o "Campo Minado" aqui é só a casca da questão.
• Generalização: sempre que uma pista numérica disser "n eventos possíveis entre k opções igualmente prováveis", a probabilidade de UM caso específico é n ÷ k; para comparar várias pistas, converta todas em decimais ou porcentagens e ordene.
• Dica de eliminação rápida: repare primeiro nas frações com numerador alto sobre denominador pequeno — S (4/8) e T (3/8) saltam aos olhos como as piores escolhas e podem ser descartadas em segundos, restando comparar apenas P, Q e R.
• Conexões: a mesma lógica aparece em problemas de urnas com informação parcial (probabilidade condicional) e em questões de jogos de tabuleiro/lógica que também caem em Matemática e suas Tecnologias.