Questão 145 — ENEM 2017Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Estatística (erro amostral, razão inversa, comparação de decimais)
• ⚡ Nível: Médio — exige montar corretamente a fórmula e = σ/√N para cinco conjuntos de dados e comparar os resultados com precisão.
• 🎯 Tema/Habilidade: Aplicação de fórmula estatística (margem de erro amostral) e leitura/interpretação de dados tabulados.
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Calcule o erro amostral de cada pesquisa com a fórmula dada e aponte qual delas atende à exigência do cliente com a maior precisão possível."
• Palavras-chave decisivas: margem de erro de, no máximo, 2 pontos percentuais, erro menor que o pedido, σ é um parâmetro e N é o número de entrevistados
• Armadilha típica: calcular e = σ/√N errado (trocar σ por N, esquecer a raiz quadrada, ou usar N em vez de √N já fornecido na tabela) e, principalmente, parar no primeiro valor que "passa" no limite de 0,02 sem comparar todas as cinco pesquisas para achar a mais precisa.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de substituir corretamente os valores de σ e √N na fórmula, calcular as cinco divisões e identificar, entre as pesquisas que respeitam o limite de erro, aquela com o menor erro amostral.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Erro amostral (e): medida de quanto o resultado obtido em uma amostra pode se distanciar do valor real da população pesquisada; quanto menor o erro, mais confiável é a pesquisa.
• Desvio-padrão (σ): parâmetro que expressa a dispersão dos dados coletados; aqui já vem pronto na tabela para cada pesquisa, não precisando ser calculado.
• Tamanho da amostra (N) e sua raiz quadrada: o erro é inversamente proporcional a √N — quanto mais pessoas entrevistadas, menor tende a ser o erro, mas isso depende também do valor de σ.
• Razão entre decimais: a comparação final se resume a calcular cinco divisões (σ ÷ √N) e ordená-las, sem necessidade de álgebra avançada.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "a margem de erro deverá ser de, no máximo, 2 pontos percentuais (0,02)" → estabelece o teto aceitável: toda pesquisa usada precisa ter e ≤ 0,02.
• Evidência 2: "irá usar a que tiver o erro menor que o pedido" → dentre as pesquisas que cumprem essa exigência, o instituto escolhe a que apresentar o menor erro possível, isto é, a mais precisa de todas.
• Evidência 3 (tabela): fornece σ, N e já entrega √N calculado (42, 28, 24, 21 e 8) para P1 a P5 — um sinal claro de que a fórmula deve ser aplicada diretamente como e = σ/√N, sem que o candidato precise extrair raízes quadradas "feias".
• Síntese: o caminho de resolução é calcular e = σ/√N para as cinco pesquisas, confirmar que todas respeitam e ≤ 0,02 e, entre elas, escolher a de menor valor — essa é a pesquisa mais confiável e a que o instituto deve utilizar.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Organizando os dados e a fórmula

A fórmula fornecida é:

e = σ ÷ √N

Com os dados da tabela:

| Pesquisa | σ | N | √N |

|---|---|---|---|

| P1 | 0,5 | 1 764 | 42 |

| P2 | 0,4 | 784 | 28 |

| P3 | 0,3 | 576 | 24 |

| P4 | 0,2 | 441 | 21 |

| P5 | 0,1 | 64 | 8 |

Subpasso 4.2 — Calculando o erro de cada pesquisa

Substituindo σ e √N em e = σ/√N:

• e₁ = 0,5 ÷ 42 ≈ 0,0119 → 1,19%
• e₂ = 0,4 ÷ 28 ≈ 0,0143 → 1,43%
• e₃ = 0,3 ÷ 24 = 0,0125 → 1,25%
• e₄ = 0,2 ÷ 21 ≈ 0,0095 → 0,95%
• e₅ = 0,1 ÷ 8 = 0,0125 → 1,25%

Subpasso 4.3 — Verificação e escolha final

Primeiro, confira o limite: todas as cinco pesquisas têm erro abaixo de 0,02 (2%), então, isoladamente, qualquer uma "passaria" na exigência mínima do cliente. Mas o enunciado pede a pesquisa com o menor erro possível — ou seja, a mais precisa entre as que atendem ao pedido.

Ordenando os erros: e₄ (0,0095) < e₁ (0,0119) < e₃ = e₅ (0,0125) < e₂ (0,0143).

O menor valor é e₄ ≈ 0,0095, referente a P4. Vale notar o detalhe conceitual importante: P5 tem o menor N (64 entrevistados), mas isso não significa erro menor — como seu σ também é pequeno (0,1), o resultado final (0,0125) fica atrás de P4, cujo equilíbrio entre σ = 0,2 e √N = 21 produz a menor razão de todas. Isso confirma que P4 é a pesquisa que o instituto deve utilizar.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) P1.

❌ Incorreta: e₁ ≈ 0,0119 (1,19%) está dentro do limite de 0,02, mas não é o menor erro do grupo — três outras pesquisas (P3, P4 e P5) apresentam erro igual ou menor, então P1 não é a mais precisa disponível.

B) P2.

❌ Incorreta: e₂ ≈ 0,0143 (1,43%) é, na verdade, o maior erro entre as cinco pesquisas, embora ainda esteja abaixo de 0,02. É a pior escolha em termos de precisão, exatamente o oposto do que o instituto busca.

C) P3.

❌ Incorreta: e₃ = 0,0125 (1,25%) empata com P5, mas ainda é maior do que o erro de P4 (0,0095). Atende ao limite, porém não é a opção de maior confiabilidade.

D) P4.

✅ Correta: e₄ = 0,2 ÷ 21 ≈ 0,0095 (0,95%) é o menor valor entre todas as pesquisas e está confortavelmente abaixo do limite de 0,02. É a pesquisa mais precisa que ainda cumpre a exigência da encomenda — por isso é a que deve ser utilizada.

E) P5.

❌ Incorreta: e₅ = 0,1 ÷ 8 = 0,0125 (1,25%) empata com P3 e fica atrás de P4. Apesar de ter o menor número de entrevistados (N = 64), o baixo tamanho amostral não compensa a relação σ/√N obtida — mostrando que "menos gente entrevistada" não é sinônimo de "menor erro".

🏆 Gabarito: D — P4 é a única pesquisa cujo erro amostral (≈ 0,95%) é, ao mesmo tempo, inferior ao limite de 2 pontos percentuais exigido pelo cliente e o menor entre todas as cinco opções disponíveis.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: somente P4 combina as duas exigências do enunciado — respeitar o teto de erro de 0,02 e apresentar, entre as pesquisas que cumprem esse teto, o menor valor de erro possível.
• Padrão de cobrança: o ENEM costuma trazer fórmulas prontas (estatísticas, financeiras ou físicas) acompanhadas de uma tabela de dados, testando se o candidato consegue substituir corretamente os valores e comparar resultados — o desafio não é a matemática avançada, é a organização e a atenção aos detalhes.
• Generalização: sempre que uma grandeza for definida como razão inversa a uma raiz quadrada (como e = σ/√N), lembre-se de que ela não depende só do numerador ou só do denominador isoladamente — é preciso calcular a razão completa antes de comparar as opções.
• Dica de eliminação rápida: estime as divisões de cabeça antes de fazer contas exatas (0,5/42 é "pouco mais que 0,01"; 0,4/28 é "quase 0,015"); isso já permite descartar de cara a pesquisa com maior erro relativo (P2) e focar a comparação fina entre as candidatas remanescentes.
• Conexões: o tema dialoga com proporcionalidade inversa, leitura de tabelas e gráficos estatísticos, e com problemas de margem de erro em pesquisas de opinião — um assunto recorrente em questões de Matemática aplicada à Estatística no ENEM.