Questão 171 — ENEM 2017Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Comprimento da circunferência, razão entre grandezas (velocidade escalar média) e leitura de figura geométrica
• ⚡ Nível: Médio — exige combinar a leitura correta da figura (raios diferentes para cada torre) com a fórmula do comprimento da circunferência e o conceito de velocidade média
• 🎯 Tema/Habilidade: Movimento circular e proporcionalidade — aplicar C = 2πr para calcular distâncias percorridas em trajetórias concêntricas e converter em velocidade (competência de resolução de problemas com grandezas geométricas)
• 🏆 Gabarito: A — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Descubra a velocidade de cada torre (T1, T2, T3) do pivô central, sabendo que todas completam uma volta em 25 horas, mas percorrem circunferências de raios diferentes."
• Palavras-chave decisivas: distâncias entre torres consecutivas iguais a 50 m, volta completa em 25 horas, π ≈ 3
• Armadilha típica: tratar as três torres como se tivessem a mesma velocidade (afinal giram "juntas", presas ao mesmo braço) ou, pior, somar 50 m três vezes sem perceber que cada torre desenha uma circunferência própria, com raio próprio, medido a partir da base.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de identificar que, apesar de o tempo de rotação ser o mesmo para as três torres (elas estão rigidamente presas ao mesmo braço), a distância percorrida por volta cresce com o raio — logo, a velocidade também cresce, na mesma proporção do raio.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Comprimento da circunferência: para uma circunferência de raio r, o perímetro é C = 2πr. É essa distância que cada torre percorre a cada rotação completa do pivô.
• Velocidade escalar média: v = ΔS/Δt. Como as três torres giram presas ao mesmo braço rígido, todas gastam o mesmo tempo (25 h) para completar uma volta — mas cada uma percorre uma distância diferente.
• Raios concêntricos: o braço do pivô é uma haste reta que sai da base e passa por T1, T2 e T3; cada torre desenha, ao girar, uma circunferência cujo raio é sua distância até a base. Torres mais afastadas têm raio maior, logo percorrem trajetória maior no mesmo tempo.
• Proporcionalidade direta: como o tempo e o fator 2π são iguais para as três torres, v = 2πr/t = k·r — a velocidade é diretamente proporcional ao raio, o que permite conferir rapidamente a coerência das alternativas.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1 (texto): "as distâncias entre torres consecutivas bem como da base à torre T1 são iguais a 50 m" → define os raios das trajetórias: T1 a 50 m da base, T2 a 100 m e T3 a 150 m.
• Evidência 2 (figura): o diagrama mostra a BASE no centro, com T1, T2 e T3 alinhados no braço do pivô, e três circunferências pontilhadas concêntricas — uma para cada torre. → confirma que cada torre percorre sua própria circunferência, de raio igual à distância até a base.
• Evidência 3 (texto): "o pivô efetue uma volta completa em 25 horas" e "cada torre move-se com velocidade constante" → o tempo de uma volta é o mesmo (25 h) para todas as torres, pois estão presas ao mesmo braço rígido; o que muda é apenas a distância percorrida.
• Síntese: o modelo correto é o de três circunferências concêntricas de raios 50 m, 100 m e 150 m, percorridas no mesmo tempo (25 h). Basta calcular o perímetro de cada uma (π ≈ 3) e dividir pelo tempo.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Determinar o raio da trajetória de cada torre

A base é o centro de giro. Segundo o enunciado, a distância da base até T1 é 50 m; a distância entre torres consecutivas também é 50 m. Logo, medindo sempre a partir do centro:

• Raio de T1: r₁ = 50 m
• Raio de T2: r₂ = 50 m + 50 m = 100 m
• Raio de T3: r₃ = 100 m + 50 m = 150 m

Subpasso 4.2 — Calcular o comprimento da circunferência percorrida por cada torre

Usando C = 2πr, com π ≈ 3 (logo 2π ≈ 6):

• C₁ = 2 × 3 × 50 = 300 m
• C₂ = 2 × 3 × 100 = 600 m
• C₃ = 2 × 3 × 150 = 900 m

Essas são as distâncias que T1, T2 e T3 percorrem, respectivamente, em uma volta completa do pivô.

Subpasso 4.3 — Calcular a velocidade de cada torre e verificar

Todas as torres completam a volta no mesmo tempo, t = 25 h (pois estão presas ao mesmo braço rígido). Usando v = C/t:

• v₁ = 300 ÷ 25 = 12 m/h
• v₂ = 600 ÷ 25 = 24 m/h
• v₃ = 900 ÷ 25 = 36 m/h

Verificação: note que v₂ = 2 × v₁ e v₃ = 3 × v₁, exatamente como esperado pela proporcionalidade v = k·r (já que r₂ = 2r₁ e r₃ = 3r₁). O conjunto de velocidades (12, 24, 36) m/h bate exatamente com a alternativa A, confirmando a coerência do cálculo geométrico com a razão de proporcionalidade.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 12, 24 e 36.

✅ Correta: são exatamente os valores obtidos ao dividir o comprimento de cada circunferência (300 m, 600 m e 900 m) pelo tempo de 25 h, respeitando os raios corretos de 50 m, 100 m e 150 m extraídos do enunciado e da figura.

B) 6, 12 e 18.

❌ Incorreta: são exatamente a metade dos valores corretos. Erro típico de usar 2π ≈ 3 (em vez de π ≈ 3, ou seja, 2π ≈ 6) ou de dividir o comprimento da circunferência por 50 h em vez de 25 h.

C) 2, 4 e 6.

❌ Incorreta: é a razão simplificada 12:24:36 dividida por 6, sem relação direta com os dados do problema — resulta de erro aritmético grosseiro ao simplificar a divisão final.

D) 300, 1200 e 2700.

❌ Incorreta: essa progressão (multiplicar por 1, 4 e 9) é típica de quem usa a área do círculo (A = πr²) em vez do perímetro (C = 2πr) — os raios foram elevados ao quadrado por engano.

E) 600, 2400 e 5400.

❌ Incorreta: mesma armadilha de D (progressão 1, 4, 9, de área), porém sem a divisão final pelo tempo de 25 h — combina dois erros conceituais (usar área e esquecer v = C/t).

🏆 Gabarito: A — as velocidades 12, 24 e 36 m/h resultam diretamente de C = 2πr (com π ≈ 3) aplicado aos raios corretos de 50 m, 100 m e 150 m, divididos pelo tempo comum de 25 horas.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: a alternativa A é a única em que as três velocidades mantêm a proporção exata 1 : 2 : 3, coerente com raios que também crescem na proporção 50 : 100 : 150 — exatamente o que a geometria da figura exige.
• Padrão de cobrança: o ENEM adora contextualizar "movimento circular" com situações do cotidiano (pivôs de irrigação, rodas, engrenagens, ponteiros de relógio, satélites) para testar se o estudante sabe que, num mesmo tempo de rotação, pontos mais distantes do centro percorrem distâncias — e portanto velocidades — maiores, proporcionais ao raio.
• Generalização: sempre que vários pontos giram rigidamente em torno de um mesmo centro no mesmo intervalo de tempo, use v = 2πr/t para cada um; como 2π/t é constante, a velocidade de cada ponto é diretamente proporcional à sua distância ao centro (v ∝ r).
• Dica de eliminação rápida: calcule apenas a velocidade de T1 (a mais simples, com o menor raio) e depois multiplique por 2 e por 3 para obter T2 e T3 — isso já elimina B, C, D e E em segundos, pois só a alternativa A preserva essa progressão 1:2:3.
• Conexões: o mesmo raciocínio aparece em questões sobre engrenagens conectadas, rodas de bicicleta com raios diferentes e satélites em órbitas concêntricas — sempre relacionando comprimento de circunferência, tempo de rotação e proporcionalidade direta com o raio.