Questão 160 — ENEM 2017Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem aplicado à coloração de regiões)
• ⚡ Nível: Difícil — exige traduzir uma figura visualmente complexa num modelo de contagem e perceber que cores PODEM se repetir em regiões não vizinhas
• 🎯 Tema/Habilidade: Contagem com restrição de vizinhança (regiões adjacentes com cores diferentes) via Princípio Fundamental da Contagem
• 🏆 Gabarito: E — revelado após a resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "De quantas maneiras dá para pintar as regiões da logomarca com 4 cores, sem que duas regiões vizinhas fiquem da mesma cor?"
• Palavras-chave decisivas: todas as cores da bandeira (verde, amarelo, azul e branco → 4 cores), regiões vizinhas, cores diferentes
• Armadilha típica: achar que cada cor só pode ser usada uma vez e cair numa permutação (4! = 24) ou num produto decrescente (4 × 3 × 2 × 1). O enunciado proíbe repetição apenas entre vizinhas — regiões que não se tocam podem ter a mesma cor à vontade.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de contar região por região, aplicando o Princípio Fundamental da Contagem e verificando, a cada passo, quantas cores continuam disponíveis por causa das vizinhas já pintadas.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Princípio Fundamental da Contagem (PFC): se uma tarefa é feita em etapas sucessivas, com n₁ opções na 1ª, n₂ na 2ª, ..., o total de maneiras é o produto n₁ × n₂ × ... × nₖ.
• Coloração de regiões (mapas): cada região é um "vértice"; duas regiões que compartilham fronteira não podem ter a mesma cor. A restrição é local: comparo cada região só com quem encosta nela.
• Ordem inteligente de pintura: o número de cores disponíveis para uma região depende de quantas vizinhas dela já foram pintadas. Se eu pintar as regiões numa ordem em que cada nova região toca apenas UMA região já colorida, ela sempre terá 4 − 1 = 3 cores livres. É esse truque que torna a conta trivial.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "utilizar todas as cores da bandeira nacional (verde, amarelo, azul e branco)" → a paleta tem exatamente 4 cores, todas disponíveis para qualquer região.
• Evidência 2: "de forma que regiões vizinhas tenham cores diferentes" → a única regra é a de fronteira. Nada impede que duas regiões distantes repitam a mesma cor.
• Evidência 3 (figura): a logomarca é a taça formada por mãos que se unem. O desenho se divide em 6 regiões: o corpo/esfera da taça, as três mãos desenhadas sobre ela, a haste e a base. Cada mão faz fronteira apenas com a esfera; a haste faz fronteira com a esfera; a base faz fronteira apenas com a haste. (Vale conferir o traçado na figura original da prova para enxergar cada fronteira.)
• Síntese: temos 6 regiões e uma estrutura de vizinhança "em cadeia/estrela" — nenhuma região precisa fugir de duas cores já usadas ao mesmo tempo. Isso significa: 4 opções para a primeira região e 3 opções para cada uma das outras cinco.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Contar as regiões

Olhando a logomarca, identificamos 6 regiões a pintar:

1. Região 1 — o corpo (a esfera/taça), a região central;
2. Região 2 — a mão superior esquerda;
3. Região 3 — a mão superior direita;
4. Região 4 — a mão inferior esquerda;
5. Região 5 — a haste da taça;
6. Região 6 — a base da taça.

Subpasso 4.2 — Contar as cores disponíveis em cada etapa

Pinto na ordem 1 → 2 → 3 → 4 → 5 → 6. Nessa ordem, cada nova região faz fronteira com exatamente uma região já pintada:

• Região 1 (nenhuma vizinha pintada ainda): pode receber qualquer uma das 4 cores → 4 possibilidades
• Região 2 (vizinha só da 1): não pode repetir a cor da 1 → 4 − 1 = 3 possibilidades
• Região 3 (vizinha só da 1): → 3 possibilidades
• Região 4 (vizinha só da 1): → 3 possibilidades
• Região 5 (vizinha da 1): → 3 possibilidades
• Região 6 (vizinha só da 5): → 3 possibilidades

Repare no ponto fino: as regiões 2, 3 e 4 são vizinhas da mesma região 1, mas não são vizinhas entre si — por isso podem, sim, repetir cor umas com as outras. Cada uma tem 3 opções, de forma independente.

Subpasso 4.3 — Verificação

Aplicando o Princípio Fundamental da Contagem:

Total = 4 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 4 × 3⁵

3⁵ = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243

Total = 4 × 243 = 972

Teste de sanidade: sem nenhuma restrição, o total seria 4⁶ = 4 096. Com a regra de vizinhança, o número tem de cair — e cai para 972, algo abaixo de um quarto de 4 096. Coerente. O valor 972 aparece exatamente na alternativa E.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 15

❌ Incorreta: valor pequeno demais para uma contagem multiplicativa em 6 etapas com 3 ou 4 opções cada — o mínimo concebível já seria 4 × 3 = 12 para duas regiões. Números como 15 costumam vir de combinações sem sentido no problema (por exemplo C(6,2) = 15), que contariam pares de regiões em vez de colorações.

B) 30

❌ Incorreta: também é ordem de grandeza incompatível. Surge de somar ou multiplicar poucos fatores pequenos (5 × 6, por exemplo), ignorando que há SEIS decisões independentes de cor a serem multiplicadas.

C) 108

❌ Incorreta: é o resultado de contar apenas 4 regiões em vez de 6 — 4 × 3³ = 4 × 27 = 108. É a armadilha mais eficaz da questão: quem enxerga só a esfera e as três mãos, esquecendo a haste e a base da taça, cai exatamente aqui. O raciocínio de contagem está certo; o que falhou foi a leitura da figura.

D) 360

❌ Incorreta: aparece quando o candidato supõe, erradamente, que alguma região faz fronteira com duas regiões já pintadas, reduzindo aquela etapa de 3 para 2 opções, ou quando mistura fatores de permutação (como 6!/2 = 360) no lugar do PFC. Na estrutura real da figura, é possível pintar numa ordem em que toda região nova toca só uma vizinha já colorida.

E) 972

✅ Correta: as 6 regiões da logomarca, pintadas na ordem certa, dão 4 possibilidades para a primeira e 3 para cada uma das outras cinco: 4 × 3⁵ = 4 × 243 = 972. Esse é o número de colorações que respeitam a regra de que regiões vizinhas têm cores diferentes.

🏆 Gabarito: E — aplicando o Princípio Fundamental da Contagem às 6 regiões da logomarca (4 cores para a primeira, 3 para cada uma das cinco seguintes), chega-se a 4 × 3⁵ = 972 maneiras distintas de pintar a figura.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: E é a única alternativa igual a 4 × 3⁵. As demais ou subcontam as regiões (108), ou usam uma estrutura de vizinhança que a figura não tem (360), ou têm ordem de grandeza incompatível com seis multiplicações (15 e 30).
• Padrão de cobrança: o ENEM cobra contagem com restrição visual em bandeiras, mosaicos, mapas e logomarcas. O texto quase sempre dá a regra ("vizinhas com cores diferentes") e esconde a dificuldade na contagem das regiões e na estrutura de quem toca quem.
• Generalização: em problemas de coloração com c cores, escolha uma ordem de pintura em que cada nova região tenha o menor número possível de vizinhas já pintadas. Se cada nova região tocar só uma já colorida, o total é simplesmente c × (c − 1)ⁿ⁻¹, com n regiões. Aqui: 4 × 3⁵.
• Dica de eliminação rápida: o resultado tem de ser "4 vezes uma potência de 3" (4·3 = 12, 4·9 = 36, 4·27 = 108, 4·81 = 324, 4·243 = 972). Só 108 e 972 têm essa cara entre as alternativas. Aí é só decidir se a figura tem 4 ou 6 regiões — e ela tem 6.
• Conexões: Princípio Fundamental da Contagem, arranjos com repetição e coloração de grafos (o famoso Teorema das Quatro Cores nasce exatamente desse tipo de problema).