Questão 175 — ENEM 2017Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Probabilidade Binomial (eventos independentes repetidos)
• ⚡ Nível: Médio — exige combinar corretamente o fator combinatório com as potências de probabilidades individuais.
• 🎯 Tema/Habilidade: Cálculo da probabilidade de exatamente k sucessos em n tentativas independentes (distribuição binomial).
• 🏆 Gabarito: A — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Entre os 10 semáforos, qual a probabilidade de exatamente 1 deles estar verde (e os outros 9, vermelhos)?"
• Palavras-chave decisivas: exatamente um, de forma independente, 10 semáforos
• Armadilha típica: esquecer de multiplicar pelo número de posições em que o único sinal verde pode aparecer entre os 10, ou trocar os expoentes de verde e vermelho.
• O que a resposta precisa demonstrar: domínio da fórmula binomial P(X = k) = C(n,k) · pᵏ · q⁽ⁿ⁻ᵏ⁾, aplicada com n = 10, k = 1, p = 2/3 (verde) e q = 1/3 (vermelho).

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Eventos independentes: o estado de um semáforo não altera a probabilidade do próximo; por isso as probabilidades individuais podem ser multiplicadas diretamente.
• Regra do produto: para eventos independentes, P(A ∩ B) = P(A) × P(B), estendida às 10 observações.
• Combinação C(n,k): conta de quantas formas diferentes é possível escolher qual dos 10 semáforos será o único verde, já que a pergunta não fixa a posição — apenas a quantidade.
• Distribuição Binomial: modelo usado sempre que há n tentativas independentes, cada uma com apenas 2 resultados possíveis e probabilidade p constante, e se quer a chance de exatamente k "sucessos".

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "os semáforos funcionam de forma independente" → autoriza multiplicar as probabilidades de cada semáforo sem nenhuma correção de dependência.
• Evidência 2: "a probabilidade de acusar a cor verde é de 2/3 e a de acusar a cor vermelha é de 1/3" → define p = 2/3 (sucesso = verde) e q = 1/3 (fracasso = vermelho), com p + q = 1, confirmando que só existem essas duas cores possíveis.
• Evidência 3: "observado exatamente um sinal na cor verde" → fixa k = 1 sucesso entre as n = 10 observações; os outros 9 semáforos devem obrigatoriamente estar vermelhos.
• Síntese: as três evidências juntas apontam diretamente para a fórmula binomial P(X = 1) = C(10,1) · (2/3)¹ · (1/3)⁹.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Identificar as variáveis do modelo binomial

n = 10 (número de semáforos observados)

k = 1 (quantidade de sinais verdes desejada)

p = 2/3 (probabilidade de um semáforo estar verde)

q = 1 − p = 1/3 (probabilidade de estar vermelho, aplicada aos outros 9 semáforos)

Subpasso 4.2 — Montar e calcular a fórmula binomial

P(X = 1) = C(10,1) × (2/3)¹ × (1/3)⁹

Calculando cada peça separadamente:

• C(10,1) = 10!/(1!·9!) = 10 → são 10 formas diferentes de escolher qual dos 10 semáforos será o verde (1º, 2º, 3º, ..., ou 10º).
• (2/3)¹ = 2/3 → probabilidade daquele semáforo específico estar verde.
• (1/3)⁹ = 1/3⁹ = 1/19683 → probabilidade de os outros 9 semáforos estarem, todos, vermelhos.

Multiplicando:

P(X = 1) = 10 × (2/3) × (1/19683) = (10 × 2)/(3 × 3⁹) = 20/3¹⁰

Subpasso 4.3 — Verificação

3¹⁰ = 59049, então P(X = 1) = 20/59049 ≈ 0,000339 (≈ 0,034%).

Faz sentido: como p = 2/3 favorece fortemente a cor verde, ter apenas 1 semáforo verde entre 10 é um evento raro — daí a probabilidade tão pequena. Comparando com a forma algébrica das alternativas, o resultado bate exatamente com "(10 × 2)/3¹⁰", escrito na alternativa A.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) (10 × 2)/3¹⁰

✅ Correta: é exatamente C(10,1) × 2¹ × 1⁹ dividido por 3¹⁰, ou seja, C(10,1) · (2/3)¹ · (1/3)⁹ reescrito em fração única — a aplicação correta e completa da fórmula binomial.

B) (10 × 2⁹)/3¹⁰

❌ Incorreta: troca os expoentes de verde e vermelho. Usa 2⁹ em vez de 2¹, como se o problema pedisse "exatamente 9 semáforos verdes" (e 1 vermelho) — o inverso do que foi pedido. Erro clássico de não identificar corretamente qual evento (verde) recebe o expoente k = 1.

C) 2¹⁰/3¹⁰⁰

❌ Incorreta: eleva o denominador a 100 em vez de 10 — uma distorção grosseira do expoente n. Além disso, não inclui o fator combinatório C(10,1) nem separa corretamente as potências de 2/3 e 1/3 (usa 2¹⁰ inteiro, como se todos os 10 semáforos fossem verdes).

D) 2⁹⁰/3¹⁰⁰

❌ Incorreta: combina dois erros de exponenciação sem lógica probabilística válida (2 elevado a 90 e 3 elevado a 100). Não corresponde a nenhuma manipulação correta da fórmula binomial nem representa qualquer evento coerente com o enunciado.

E) 2/3¹⁰

❌ Incorreta: calcula corretamente a probabilidade de UMA única sequência específica com 1 verde e 9 vermelhos — (2/3) × (1/3)⁹ = 2/3¹⁰ —, mas esquece de multiplicar pelo número de posições possíveis em que esse único semáforo verde pode estar, isto é, esquece o fator C(10,1) = 10. É a armadilha mais comum da questão: confundir a probabilidade de "uma ordem específica" com a probabilidade de "exatamente k sucessos em qualquer ordem".

🏆 Gabarito: A — (10 × 2)/3¹⁰ é a única alternativa que reúne corretamente o fator combinatório C(10,1) = 10 com as potências certas, p¹ para o único semáforo verde e q⁹ para os nove vermelhos.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: a alternativa A é a única que aplica integralmente a fórmula binomial P(X = k) = C(n,k) · pᵏ · q⁽ⁿ⁻ᵏ⁾ com os valores corretos de n, k, p e q extraídos do enunciado.
• Padrão de cobrança: o ENEM cobra com frequência problemas de "probabilidade de exatamente k sucessos entre n repetições independentes" — em contextos como moedas, dados, testes de múltipla escolha, sorteios e, como aqui, semáforos. É um clássico da competência de Probabilidade e Estatística de Matemática e suas Tecnologias.
• Generalização: sempre que o enunciado disser "exatamente k eventos de um tipo entre n repetições independentes", monte a fórmula binomial P = C(n,k) · pᵏ · q⁽ⁿ⁻ᵏ⁾ — e nunca esqueça o fator de combinação, que conta as diferentes ordens possíveis.
• Dica de eliminação rápida: primeiro confira se o expoente do denominador é igual a n (aqui, 3¹⁰) — isso já elimina C e D, que erram grosseiramente esse expoente. Depois confirme que o expoente do numerador (referente à cor pedida) é igual a k = 1, não a n−k = 9 — isso elimina B. Por fim, verifique se existe o fator "10 ×" multiplicando o resultado — sua ausência elimina E, que esqueceu a combinação.
• Conexões: a mesma lógica se aplica a problemas de "lançar uma moeda n vezes e obter k caras", "prova de múltipla escolha com k acertos entre n questões por chute" e, de forma mais ampla, a qualquer distribuição binomial B(n, p).