Questão 158 — ENEM 2017Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Semelhança e escala (razão de semelhança aplicada a volumes) + conversão de unidades
• ⚡ Nível: Médio — a conta é curta, mas exige saber que a escala eleva ao cubo quando se trata de volume, e ainda converter cm³ em m³ sem escorregar.
• 🎯 Tema/Habilidade: Relação entre razão de semelhança linear e razão entre volumes de sólidos semelhantes (Competência de área 2 — grandezas, medidas e proporcionalidade)
• 🏆 Gabarito: C — revelado após a resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Se a miniatura está na escala 1:400 e tem 25 cm³, qual é o volume do monumento real em metros cúbicos?"
• Palavras-chave decisivas: escala 1 : 400, volume é de 25 cm³, em metro cúbico
• Armadilha típica: multiplicar o volume da miniatura direto pela escala (25 × 400 = 10 000), como se a escala valesse para volumes. A escala 1:400 é linear — vale para comprimentos. Para volumes, ela precisa ser elevada ao cubo.
• O que a resposta precisa demonstrar: dominar a relação entre razão de semelhança k e razão de volumes k³, e converter cm³ → m³ usando o fator correto (10⁶, e não 10²).

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Razão de semelhança (k): em uma escala 1 : 400, cada comprimento do objeto real é 400 vezes o comprimento correspondente na miniatura. Ou seja, k = 400.
• A regra de ouro das dimensões: quando dois sólidos são semelhantes com razão linear k,

- comprimentos ficam multiplicados por k;

- áreas ficam multiplicadas por k²;

- volumes ficam multiplicados por k³.

O motivo é direto: volume = comprimento × largura × altura, e cada uma das três dimensões é ampliada por k, logo k × k × k = k³.

• Conversão cm³ → m³: 1 m = 100 cm ⟹ 1 m³ = (100 cm)³ = 1 000 000 cm³ = 10⁶ cm³. Note que o fator também é cubo: não é 100, é 100³.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "trata-se de uma peça em escala 1 : 400" → k = 400 é a razão entre comprimentos, não entre volumes. Toda escala anunciada em mapas, maquetes e miniaturas é sempre linear.
• Evidência 2: "seu volume é de 25 cm³" → é o volume da miniatura, a grandeza de partida.
• Evidência 3: "O volume do monumento original, em metro cúbico" → a resposta é pedida em m³, então haverá uma conversão obrigatória no fim. Essa exigência não é decorativa: sem ela, a resposta cairia em outra alternativa.
• Síntese: dois passos independentes, ambos envolvendo cubos: multiplicar por 400³ (semelhança) e dividir por 100³ (conversão de unidade).

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Elevar a escala ao cubo

A razão entre os volumes de dois sólidos semelhantes é o cubo da razão de semelhança:

V_real ÷ V_miniatura = k³ = 400³

Calculando 400³:

400³ = 400 × 400 × 400 = 160 000 × 400 = 64 000 000 (ou 6,4 × 10⁷)

Subpasso 4.2 — Calcular o volume real em cm³

V_real = 25 × 64 000 000

V_real = 1 600 000 000 cm³ (ou 1,6 × 10⁹ cm³)

Subpasso 4.3 — Converter cm³ em m³

Como 1 m³ = 10⁶ cm³ = 1 000 000 cm³:

V_real = 1 600 000 000 ÷ 1 000 000

V_real = 1 600 m³

Subpasso 4.4 — Verificação (caminho alternativo, mais rápido)

Vale a pena confirmar convertendo antes de ampliar. O volume da miniatura em m³ é:

25 cm³ = 25 ÷ 10⁶ m³ = 2,5 × 10⁻⁵ m³

Agora multiplique por 400³ = 6,4 × 10⁷:

V_real = 2,5 × 10⁻⁵ × 6,4 × 10⁷ = (2,5 × 6,4) × 10⁽⁻⁵⁺⁷⁾ = 16 × 10² = 1 600 m³ ✅

Os dois caminhos coincidem. Um teste de plausibilidade fecha a conta: 1 600 m³ é o volume de um bloco de aproximadamente 12 m × 12 m × 11 m — dimensões perfeitamente compatíveis com um monumento turístico de verdade. Já 10 000 m³ (alternativa E) exigiria um bloco maciço de mais de 21 m de lado, e 100 m³ (alternativa A) daria um monumento de menos de 5 m de lado — nem um nem outro combina com a escala 1:400. O valor 1 600 corresponde à alternativa C.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 100

❌ Incorreta: aparece quando se aplica a escala apenas ao quadrado (400² = 160 000, tratando volume como se fosse área) e, na sequência, se erra também a conversão de unidade. O erro conceitual central é confundir a regra de áreas (k²) com a de volumes (k³) — em sólidos, as três dimensões crescem, não duas.

B) 400

❌ Incorreta: é o próprio número da escala, oferecido como isca para quem não faz conta alguma e apenas repete o valor que aparece no enunciado. O 400 é a razão entre comprimentos; nunca é, por si só, uma razão entre volumes.

C) 1600

✅ Correta: aplica a regra de semelhança para volumes (multiplicar por k³ = 400³ = 64 000 000) e converte corretamente cm³ em m³ (dividir por 10⁶): 25 × 64 000 000 = 1 600 000 000 cm³ = 1 600 m³.

D) 6250

❌ Incorreta: vem de dividir onde se deveria multiplicar, ou de inverter a razão da escala (usar 1/400 no lugar de 400 em alguma etapa) — por exemplo, 25 × 10⁶ ÷ 4 000 = 6 250. Trata a miniatura como se fosse maior que o monumento em alguma das operações, invertendo o sentido da ampliação.

E) 10000

❌ Incorreta: é a armadilha mais tentadora da questão: resulta de multiplicar o volume da miniatura direto pela escala linear (25 × 400 = 10 000), como se a escala 1:400 se aplicasse a volumes. Ignora que, ao ampliar 400 vezes cada uma das três dimensões, o volume é multiplicado por 400 × 400 × 400 — e não por 400. Além disso, "acerta" a unidade por pura coincidência, sem nenhuma conversão.

🏆 Gabarito: C — a escala 1:400 é linear, então o volume é multiplicado por 400³ = 64 000 000: V = 25 × 64 000 000 = 1,6 × 10⁹ cm³, que convertido (÷ 10⁶) dá 1 600 m³.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só 1 600 m³ resulta de aplicar k³ à razão de semelhança e 10⁶ à conversão de unidades. Qualquer outro valor exige tratar volume como comprimento (E, B) ou como área (A), ou inverter o sentido da escala (D).
• Padrão de cobrança: o ENEM cobra esse tema com maquetes, miniaturas, mapas e ampliações de fotos. A pergunta muda de roupa, mas o núcleo é sempre o mesmo: a escala anunciada é linear, e quem responde por reflexo multiplica pelo número errado.
• Generalização: grave a escadinha das dimensões — comprimento k, área k², volume k³. Ela vale tanto para a razão de semelhança quanto para a conversão de unidades (cm → m usa 100; cm² → m² usa 100²; cm³ → m³ usa 100³).
• Dica de eliminação rápida: se a alternativa é simplesmente o número da escala (400) ou o volume vezes a escala (10 000), quase sempre é armadilha. Além disso, faça o teste de plausibilidade: extraia a raiz cúbica do volume e veja se a "aresta equivalente" tem tamanho de monumento (aqui, ∛1600 ≈ 11,7 m — perfeito).
• Conexões: semelhança de triângulos, razão entre áreas de figuras semelhantes e escalas cartográficas (Geografia) — todos derivam da mesma ideia de proporcionalidade elevada à dimensão certa.