Questão 153 — ENEM 2017Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Plana (tangência de circunferências e triângulo equilátero)
• ⚡ Nível: Médio-Difícil — exige "enxergar" que o empilhamento de três tubos forma um triângulo equilátero escondido dentro de um enunciado longo e contextualizado
• 🎯 Tema/Habilidade: Relações métricas entre circunferências tangentes; resolver situação-problema real usando geometria e composição de alturas
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Some a altura da carroceria, a altura do empilhamento triangular dos três tubos e a margem de segurança de 0,50 m para achar a altura mínima do vão do viaduto."
• Palavras-chave decisivas: raio externo 0,60 m, 1,30 m do solo, 0,50 m menor
• Armadilha típica: tratar a "altura do vão do viaduto" como se fosse igual à altura do caminhão carregado (esquecendo de somar a margem de 0,50 m), ou calcular a altura da pilha de tubos como se fossem dois diâmetros empilhados verticalmente, ignorando que a disposição é triangular (2 embaixo, 1 em cima, encaixado no "vale" entre os dois primeiros).
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de decompor a altura total em três parcelas — carroceria, empilhamento geométrico dos tubos e margem de segurança — aplicando corretamente a geometria de circunferências tangentes para a parcela do meio.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Circunferências tangentes externamente: quando duas circunferências de mesmo raio r são tangentes uma à outra (encostam sem se cruzar), a distância entre seus centros é exatamente 2r.
• Triângulo equilátero formado por três centros: ao apoiar um terceiro círculo igual sobre dois círculos já tangentes entre si, os três centros formam um triângulo equilátero de lado 2r, pois o novo círculo é tangente a cada um dos outros dois.
• Altura de um triângulo equilátero: para um triângulo equilátero de lado l, a altura vale h = (l√3)/2. Aplicado ao lado 2r, essa altura vale exatamente r√3.
• Composição de alturas colineares: quando objetos estão empilhados verticalmente (carroceria → tubos → margem de ar), a altura total do conjunto é a soma simples das alturas parciais, desde que estejam alinhados na mesma vertical.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "o raio externo de cada cano ... seja 0,60 m" → define r = 0,60 m para os três tubos (todos do mesmo tamanho), valor que será usado tanto para a espessura de cada tubo quanto para o cálculo geométrico do encaixe entre eles.
• Evidência 2: "estejam em cima de uma carroceria cuja parte superior está a 1,30 m do solo" → fixa o "piso" de onde os tubos partem: 1,30 m já é altura garantida, à qual deve-se somar a altura ocupada pelos tubos.
• Evidência 3 (figura dos círculos): a segunda imagem mostra dois círculos apoiados lado a lado sobre uma linha horizontal (a carroceria) e um terceiro círculo encaixado exatamente na reentrância entre eles, tangenciando os dois — confirmando o modelo do triângulo equilátero de centros.
• Evidência 4: "a altura total do veículo com a carga seja, no mínimo, 0,50 m menor do que a altura do vão do viaduto" → isso significa que o viaduto precisa ser 0,50 m maior que o caminhão carregado, ou seja, viaduto = altura do caminhão + 0,50 m (a margem se soma, não se subtrai).
• Síntese: o problema pede uma soma de três parcelas verticais — 1,30 m (carroceria) + altura do empilhamento triangular dos tubos + 0,50 m (margem) — sendo a parcela do meio a única que exige geometria não trivial.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Modelando o empilhamento dos tubos como triângulo equilátero

Como os três tubos têm o mesmo raio r = 0,60 m e são mutuamente tangentes (os dois de baixo tangenciam-se entre si e cada um tangencia o de cima), os centros das três circunferências formam um triângulo equilátero cujo lado é a distância entre dois centros de círculos tangentes de mesmo raio:

lado = 2r = 2 × 0,60 = 1,20 m

A altura desse triângulo equilátero (distância vertical entre o segmento que une os dois centros de baixo e o centro de cima) é:

h = (lado × √3)/2 = (1,20 × 1,7)/2 = 2,04/2 = 1,02 m

Repare que isso equivale exatamente a r√3 = 0,60 × 1,7 = 1,02 m.

Subpasso 4.2 — Altura total do empilhamento e do caminhão carregado

A altura total ocupada pelos tubos (do ponto onde tocam a carroceria até o topo do tubo superior) tem três trechos verticais:

• do piso da carroceria até o centro dos círculos de baixo: r = 0,60 m (um raio, pois o centro fica a uma distância r acima da superfície de apoio);
• do centro dos círculos de baixo até o centro do círculo de cima: r√3 = 1,02 m (a altura do triângulo equilátero calculada acima);
• do centro do círculo de cima até o topo desse tubo: r = 0,60 m (mais um raio).

Altura do empilhamento = r + r√3 + r = 2r + r√3 = r(2 + √3) = 0,60 × (2 + 1,7) = 0,60 × 3,7 = 2,22 m

Somando a altura da carroceria:

Altura do caminhão carregado = 1,30 + 2,22 = 3,52 m

Agora aplica-se a margem de segurança de 0,50 m exigida pelo enunciado:

Altura mínima do viaduto = 3,52 + 0,50 = 4,02 m

Subpasso 4.3 — Verificação

Conferindo a ordem de grandeza: um caminhão com carga de tubos de 1,20 m de diâmetro cada, empilhados em formação triangular sobre uma carroceria de 1,30 m, resultando em quase 3,5 m de altura total, é plausível para um veículo de grande porte — e bate exatamente com a manchete da notícia, que descreve um caminhão que "entalou" sob um viaduto. O valor 4,02 m aparece de forma exata entre as alternativas, confirmando o cálculo.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 2,82.

❌ Incorreta: essa é a "pegadinha" de quem calcula certo a distância entre os centros das circunferências (r√3 = 1,02 m), mas esquece de somar os dois raios que completam a extensão física real do empilhamento (um raio embaixo, para ir do piso até o centro dos círculos inferiores, e um raio em cima, para ir do centro do círculo superior até o topo do tubo). O cálculo fica 1,30 + 1,02 + 0,50 = 2,82, subestimando a altura real da carga porque mede "de centro a centro" e não "de ponta a ponta".

B) 3,52.

❌ Incorreta: é exatamente a altura real do caminhão carregado (carroceria + tubos = 1,30 + 2,22 = 3,52 m), mas sem somar a margem de segurança de 0,50 m exigida pelo enunciado. Quem marca essa alternativa fez toda a geometria corretamente, porém confundiu "altura do caminhão" com "altura mínima do viaduto" — são grandezas diferentes por definição do próprio problema.

C) 3,70.

❌ Incorreta: resulta de um erro de modelagem geométrica — em vez de reconhecer o triângulo equilátero formado pelos três tubos tangentes, o candidato imagina os tubos empilhados em "duas camadas retas", somando dois diâmetros inteiros (2 × 1,20 = 2,40 m) à carroceria: 1,30 + 2,40 = 3,70, sem sequer aplicar a margem. Esse erro ignora que o tubo de cima está encaixado na reentrância entre os dois de baixo, e não apoiado diretamente sobre eles.

D) 4,02.

✅ Correta: é o resultado da soma completa e correta: altura da carroceria (1,30 m) + altura do empilhamento triangular dos tubos, calculada via triângulo equilátero de centros (2,22 m) + margem de segurança (0,50 m) = 4,02 m. Todas as três parcelas do problema foram contempladas com a geometria adequada.

E) 4,20.

❌ Incorreta: repete o mesmo erro de modelagem geométrica da alternativa C (somar dois diâmetros cheios em vez de aplicar o triângulo equilátero), mas dessa vez somando também a margem de segurança: 1,30 + 2,40 + 0,50 = 4,20. É a versão "com margem" do erro de empilhamento incorreto — mostra que aplicar corretamente um passo do problema (a margem) não compensa um erro conceitual em outro (a geometria da pilha).

🏆 Gabarito: D — a altura mínima do viaduto é 4,02 m, obtida somando a altura da carroceria (1,30 m), a altura do empilhamento triangular dos tubos calculada via triângulo equilátero (2,22 m) e a margem de segurança (0,50 m).

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a alternativa D combina a modelagem geométrica correta (triângulo equilátero de lado 2r para o empilhamento dos três tubos tangentes) com a leitura correta do enunciado (a margem de 0,50 m se soma à altura do caminhão, não se subtrai).
• Padrão de cobrança: o ENEM gosta de embutir geometria plana clássica (círculos tangentes, triângulos equiláteros, teorema de Pitágoras) dentro de situações do cotidiano — aqui, uma notícia de jornal sobre um caminhão preso num viaduto. A dificuldade real não está na conta, e sim em identificar qual figura geométrica está "escondida" na situação.
• Generalização: sempre que três circunferências de mesmo raio estiverem mutuamente tangentes (duas embaixo e uma encaixada em cima), os centros formam um triângulo equilátero de lado 2r, e a altura total do empilhamento é 2r + r√3 = r(2+√3). Memorizar essa fórmula pronta economiza tempo em provas.
• Dica de eliminação rápida: identifique primeiro se a alternativa usa o valor "limpo" da soma de dois diâmetros (2,40 m) — isso denuncia quem ignorou a geometria triangular (são as alternativas C e E). Em seguida, verifique se a margem de 0,50 m foi somada ao resultado geometricamente correto: se não foi, é a alternativa B; se foi, é a D.
• Conexões: esse mesmo raciocínio de "triângulo equilátero entre centros de círculos tangentes" aparece em problemas de empacotamento de esferas/latas cilíndricas e em questões de engrenagens ou polias tangentes, temas recorrentes em geometria aplicada do ENEM.