Questão 152 — ENEM 2017Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Funções (função definida por partes) e leitura de gráficos aplicada a uma situação física
• ⚡ Nível: Difícil — não basta decorar fórmula: é preciso traduzir um processo físico em três regimes distintos e comparar corretamente as inclinações das retas
• 🎯 Tema/Habilidade: Interpretação de gráficos que descrevem situações-problema (variação de grandezas relacionadas — volume × altura)
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Qual gráfico mostra corretamente como a altura h da água em R1 varia enquanto o volume total V de água no sistema aumenta?"
• Palavras-chave decisivas: bloco retangular, cano de ligação, inicialmente vazios
• Armadilha típica: imaginar que a altura em R1 sobe o tempo todo (ignorando o "represamento"), ou desenhar uma curva suave em vez de retas, ou desenhar as duas retas com a mesma inclinação.
• O que a resposta precisa demonstrar: reconhecer as três fases do enchimento — só R1 subindo, R1 parado enquanto R2 enche, e os dois subindo juntos mais devagar — e representá-las como segmentos de reta com as inclinações corretas.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Volume de um bloco retangular: V = A·h, em que A é a área da base (constante). Como A não muda, h e V são diretamente proporcionais enquanto um único reservatório enche sozinho — o gráfico é uma reta passando pela origem.
• Vasos comunicantes: quando dois recipientes se conectam por um cano abaixo da superfície da água, o líquido tende a igualar os níveis; a partir do instante em que isso ocorre, a "área de enchimento" passa a ser a soma das áreas dos dois recipientes.
• Função definida por partes: processos físicos com "regimes" diferentes (antes e depois de um evento, como a água atingir o cano) geram gráficos compostos por trechos com regras diferentes — não uma única curva contínua.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "dois reservatórios idênticos, em formato de bloco retangular" → área da base constante e igual nos dois; logo, todo trecho em que apenas um reservatório enche precisa ser uma reta, nunca uma curva.
• Evidência 2: "ao atingir o nível do cano de ligação, passa a abastecer o Reservatório 2" → existe uma altura crítica h (a altura do cano) a partir da qual o volume extra deixa de elevar o nível de R1 e passa a encher R2.
• Evidência 3: "inicialmente, os dois reservatórios estejam vazios" → o gráfico começa exatamente na origem (0, 0).
• Síntese: h(V) precisa ter três regimes: subida linear até h, patamar constante em h enquanto R2 enche sozinho, e nova subida linear (mais lenta) quando os níveis se igualam e passam a subir juntos.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Fase 1: enchendo só o Reservatório 1

Enquanto o nível de água em R1 não atinge a altura do cano de ligação, toda a água que entra fica represada em R1. Como a base do bloco retangular tem área A constante, V = A·h, ou seja, h = V/A. É uma função linear (reta que passa pela origem) com inclinação 1/A. Esse é o primeiro trecho do gráfico: reto e crescente.

Subpasso 4.2 — Fase 2: R1 "trava" no nível do cano enquanto R2 enche

Quando h atinge a altura h do cano, qualquer volume adicional que chega ao sistema escoa pelo cano até R2 (ainda vazio). Enquanto R2 sobe de 0 até h, o nível em R1 permanece constante em h — o volume total V continua aumentando (o sistema todo está recebendo água), mas a altura em R1 não muda mais. No gráfico, isso é um patamar horizontal.

Subpasso 4.3 — Fase 3: os dois reservatórios sobem juntos, mais devagar

Quando R2 também atinge o nível h do cano, os dois reservatórios passam a se comportar como vasos comunicantes: a partir daí, qualquer água adicionada eleva os dois níveis igualmente. A área que efetivamente "recebe" a água passa a ser 2A (a soma das duas bases). Logo, para o mesmo incremento de volume, a altura sobe à metade da taxa da Fase 1: h = h + (V − V)/(2A). É outra reta crescente, mas com inclinação igual à metade da inclinação do primeiro trecho.

Verificação: o gráfico correto precisa ter, nessa ordem: (i) reta crescente partindo da origem; (ii) trecho horizontal (patamar); (iii) reta crescente novamente, com inclinação menor (metade) do que a da primeira — nunca igual, nunca maior, e em nenhum momento curva. Só uma alternativa satisfaz simultaneamente as três condições.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) Reta única, sem patamar, do início ao fim

❌ Incorreta: mostra proporcionalidade direta constante entre h e V do começo ao fim, como se existisse um único reservatório recebendo água para sempre na mesma taxa. Ignora a fase em que R1 "trava" enquanto R2 enche — não há sinal algum de patamar.

B) Curva suave, com inflexão arredondada e sem trecho plano definido

❌ Incorreta: os trechos em que apenas um reservatório enche precisam ser retos, pois V = A·h é linear quando a base do bloco retangular tem área constante. Uma curva suave sugeriria área da base variável (cone, esfera), o que contradiz o enunciado.

C) Reta crescente → patamar → reta crescente com inclinação igual ou maior que a primeira

❌ Incorreta: acerta a estrutura geral (sobe, estabiliza, sobe de novo), mas erra a proporção das inclinações. O segundo trecho sobe com inclinação igual ou até mais acentuada que o primeiro — fisicamente isso exigiria área menor, quando na verdade ela dobra (R1 + R2 juntos), o que deveria deixar a segunda reta menos inclinada, não mais.

D) Reta crescente → patamar → reta crescente com inclinação igual à metade da primeira

✅ Correta: reproduz as três fases físicas — subida linear enquanto só R1 enche, patamar enquanto R2 enche sozinho, e nova subida linear com metade da inclinação inicial, pois a área que passa a receber a água dobrou.

E) Curva sempre crescente e côncava, sem trecho plano ou reto

❌ Incorreta: sugere que a altura em R1 nunca para de subir e que a taxa de subida diminui suave e continuamente, como em um reservatório de seção variável. Não há trecho reto nem patamar, o que contraria o formato retangular e a fase de represamento.

🏆 Gabarito: D — é o único gráfico que combina os três regimes físicos corretos (subida linear, patamar, subida linear mais lenta) com a proporção de inclinações fisicamente coerente: a segunda reta sobe à metade da taxa da primeira, porque a área de enchimento dobrou.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: D é a única alternativa que respeita, ao mesmo tempo, a linearidade dos trechos (bloco retangular = área da base constante), o patamar (represamento do nível de R1 enquanto R2 enche) e a proporção correta entre as inclinações (a segunda reta precisa ser menos inclinada, pois a área de enchimento dobrou).
• Padrão de cobrança: o ENEM gosta de usar "recipientes enchendo" (baldes, garrafas, piscinas, reservatórios) para testar se o aluno entende que volume é proporcional à altura somente quando a área da base é constante, e que mudanças na geometria durante o processo (segundo recipiente entrando em cena, formato variável) alteram a inclinação ou a forma do gráfico.
• Generalização: base constante → gráfico h × V é reta; área efetiva de enchimento variando (recipiente cônico, esférico, ou um segundo recipiente entrando em jogo) → a inclinação muda ou surgem curvas. O segredo é decompor o processo em fases e, em cada uma, identificar qual área está recebendo a água.
• Dica de eliminação rápida: descarte curvas suaves sem trecho reto (eliminam-se B e E, pois a base é retangular = área constante); entre o que sobra com patamar, escolha a reta final menos inclinada que a inicial (elimina C, sobra D); A cai de cara por não ter patamar algum.
• Conexões: problemas de "torneira enchendo piscina/copo/garrafa" (função afim por partes) e vasos comunicantes em Física (equilíbrio de níveis e pressão hidrostática).