Questão 142 — ENEM 2017Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Espacial (volume do paralelepípedo e do cubo) + comparação de medidas
• ⚡ Nível: Médio — as contas são simples, mas há duas condições a cumprir ao mesmo tempo (caber e sobrar o mínimo), e a maioria dos candidatos esquece a primeira.
• 🎯 Tema/Habilidade: Resolver problema envolvendo volume de sólidos e critério de otimização (Competência de área 2 — utilizar grandezas e medidas para resolver situações-problema)
• 🏆 Gabarito: C — revelado após a resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Entre as caixas em que o cubo de 80 cm realmente cabe, qual delas deixa o menor volume vazio sobrando?"
• Palavras-chave decisivas: objeto cúbico de 80 cm de aresta, não pode ser desmontado, caiba, menor espaço livre
• Armadilha típica: ir direto ao volume das caixas e escolher a de menor volume total, sem antes checar se o cubo cabe. A Caixa 2 tem um lado de 75 cm — menor que 80 cm — e por isso está eliminada antes de qualquer conta, apesar de ser a de menor volume.
• O que a resposta precisa demonstrar: aplicar o filtro na ordem certa — primeiro a viabilidade (as três dimensões ≥ 80 cm), depois a otimização (menor volume).

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Volume do cubo: V = a³, onde a é a aresta.
• Volume do paralelepípedo retângulo: V = comprimento × largura × altura.
• Condição de encaixe (o ponto-chave): um cubo rígido de aresta 80 cm só entra em uma caixa se cada uma das três dimensões da caixa for maior ou igual a 80 cm. Não adianta a caixa ter volume grande se uma única dimensão for menor que 80 cm — o objeto não pode ser desmontado nem dobrado.
• Espaço livre: é o que sobra dentro da caixa depois de colocado o objeto → espaço livre = V_caixa − V_cubo. Como V_cubo é o mesmo em todos os casos, minimizar o espaço livre equivale a minimizar o volume da caixa (entre as que servem).

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "um objeto cúbico, de 80 cm de aresta, que não pode ser desmontado" → o objeto é rígido: as três dimensões da caixa escolhida precisam ser, cada uma, no mínimo 80 cm. Essa frase é o gatilho do filtro de viabilidade.
• Evidência 2: "escolher uma caixa na qual o objeto caiba, de modo que sobre o menor espaço livre em seu interior" → são duas exigências encadeadas, nesta ordem: viabilidade e depois economia de espaço.
• Síntese: o problema tem duas etapas obrigatórias. Etapa 1: eliminar as caixas com alguma dimensão < 80 cm. Etapa 2: entre as sobreviventes, calcular os volumes e escolher o menor.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Filtro de viabilidade: o cubo cabe?

O cubo tem 80 cm em cada direção. Basta uma dimensão da caixa ficar abaixo de 80 cm para ela ser descartada:

| Caixa | Dimensões (cm) | Menor dimensão | Cabe? |

|---|---|---|---|

| 1 | 86 × 86 × 86 | 86 | ✅ sim |

| 2 | 75 × 82 × 90 | 75 | ❌ não (75 < 80) |

| 3 | 85 × 82 × 90 | 82 | ✅ sim |

| 4 | 82 × 95 × 82 | 82 | ✅ sim |

| 5 | 80 × 95 × 85 | 80 | ✅ sim (encaixe justo, mas cabe) |

A Caixa 2 está fora: por mais folga que tenha nas outras duas dimensões, o lado de 75 cm impede a entrada do cubo de 80 cm.

Subpasso 4.2 — Volume do objeto

V_cubo = 80³ = 80 × 80 × 80 = 512 000 cm³

Subpasso 4.3 — Volume de cada caixa viável

• Caixa 1: 86 × 86 = 7 396; 7 396 × 86 = 636 056 cm³
• Caixa 3: 85 × 82 = 6 970; 6 970 × 90 = 627 300 cm³
• Caixa 4: 82 × 82 = 6 724; 6 724 × 95 = 638 780 cm³
• Caixa 5: 80 × 95 = 7 600; 7 600 × 85 = 646 000 cm³

Subpasso 4.4 — Espaço livre em cada uma (V_caixa − 512 000)

| Caixa | V_caixa (cm³) | Espaço livre (cm³) |

|---|---|---|

| 1 | 636 056 | 636 056 − 512 000 = 124 056 |

| 3 | 627 300 | 627 300 − 512 000 = 115 300 ← menor |

| 4 | 638 780 | 638 780 − 512 000 = 126 780 |

| 5 | 646 000 | 646 000 − 512 000 = 134 000 |

Subpasso 4.5 — Verificação

Comparando os quatro valores: 115 300 < 124 056 < 126 780 < 134 000. O menor espaço livre é o da Caixa 3, com 115 300 cm³ — cerca de 9 000 cm³ a menos que a segunda colocada (Caixa 1).

Repare que a Caixa 3 vence justamente por ser a de menor volume entre as viáveis (627 300 cm³): como o objeto ocupa sempre os mesmos 512 000 cm³, a caixa mais "apertada" que ainda o comporta é sempre a de menor sobra. E note a sutileza: a Caixa 5, apesar de ter uma dimensão de exatos 80 cm (o encaixe mais justo em uma direção), é a pior de todas em volume — o exagero de 95 cm na outra dimensão desperdiça muito espaço. Isso corresponde à alternativa C.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 1.

❌ Incorreta: a Caixa 1 (86 × 86 × 86) de fato comporta o cubo, mas seu volume é 636 056 cm³, deixando 124 056 cm³ de sobra — cerca de 8 750 cm³ a mais que a Caixa 3. Ser um cubo perfeito e "parecer" a mais ajustada visualmente engana: a folga de 6 cm nas três direções simultaneamente acaba desperdiçando mais espaço do que a folga assimétrica da Caixa 3.

B) 2.

❌ Incorreta: é a armadilha central da questão. A Caixa 2 tem o menor volume de todas (75 × 82 × 90 = 553 500 cm³) e, por isso, atrai quem calcula volumes sem checar as dimensões. Mas ela tem um lado de 75 cm, menor que a aresta de 80 cm do objeto — o cubo simplesmente não entra, e o enunciado deixa claro que ele "não pode ser desmontado".

C) 3.

✅ Correta: todas as três dimensões (85, 82 e 90 cm) são maiores que 80 cm, então o cubo cabe. Seu volume é 85 × 82 × 90 = 627 300 cm³, o menor entre as caixas viáveis, deixando um espaço livre de apenas 627 300 − 512 000 = 115 300 cm³ — o mínimo pedido pelo enunciado.

D) 4.

❌ Incorreta: a Caixa 4 (82 × 95 × 82) comporta o cubo, mas tem volume de 638 780 cm³ e sobra de 126 780 cm³. Perde para a Caixa 3 porque a dimensão de 95 cm é excessiva: são 15 cm de folga em uma única direção, o que joga o volume para cima sem nenhum ganho.

E) 5.

❌ Incorreta: a Caixa 5 (80 × 95 × 85) comporta o cubo com encaixe exato em uma direção (80 cm), o que engana o candidato apressado, levando-o a crer que é a mais econômica. Mas seu volume é 646 000 cm³ — o maior de todos —, com sobra de 134 000 cm³. O encaixe justo em uma dimensão não compensa o desperdício dos 95 cm na outra.

🏆 Gabarito: C — a Caixa 3 é a única que reúne as duas exigências: comporta o cubo (todas as dimensões ≥ 80 cm) e tem o menor volume entre as viáveis (627 300 cm³), deixando o menor espaço livre, de 115 300 cm³.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a Caixa 3 sobrevive aos dois filtros. A Caixa 2 é eliminada por dimensão (75 cm < 80 cm) e as Caixas 1, 4 e 5 perdem por volume — todas deixam mais espaço vazio que a 3.
• Padrão de cobrança: o ENEM adora problemas de escolha ótima com restrição: há um critério de viabilidade (o que serve) e, só depois, um critério de otimização (o melhor entre os que servem). Inverter essa ordem é o erro mais caro.
• Generalização: como o objeto a ser guardado é sempre o mesmo, "menor espaço livre" é apenas outra maneira de dizer "menor volume de caixa entre as que cabem". Isso poupa a subtração de 512 000 cinco vezes: basta ordenar os volumes das caixas viáveis.
• Dica de eliminação rápida: varra as caixas procurando qualquer dimensão menor que 80 e risque essas de cara (some 30 segundos: cai a Caixa 2, que é a isca principal). Depois, entre as restantes, calcule só os volumes — quem tiver a dimensão mais exagerada (95 cm nas Caixas 4 e 5) tende a perder.
• Conexões: volume de prismas e cilindros, problemas de embalagem/empacotamento e questões de otimização com restrição — todos recorrentes na prova de Matemática.