Questão 178 — ENEM 2017Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Análise Combinatória (Combinação Simples) e reconhecimento de padrões numéricos
• ⚡ Nível: Fácil — basta identificar que "cada um joga uma vez com cada um" é uma combinação de 2 elementos e aplicar (ou extrapolar da tabela) a fórmula C(n,2)
• 🎯 Tema/Habilidade: Contagem de confrontos em torneio "todos contra todos" — competência de resolver situação-problema com raciocínio combinatório e leitura de padrões em tabelas
• 🏆 Gabarito: E — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Com 8 jogadores, cada um enfrentando todos os outros exatamente uma vez, quantas partidas ao todo serão disputadas?"
• Palavras-chave decisivas: joga uma única vez, com cada um dos outros, número de partidas depende do número de jogadores
• Armadilha típica: multiplicar 8 pelos 7 adversários (8 × 7 = 56) e parar por aí, esquecendo que a partida entre o Jogador A e o Jogador B é a mesma partida entre B e A — ou seja, esse cálculo conta cada jogo duas vezes.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de traduzir a situação para uma combinação simples C(n,2) — ou, alternativamente, de generalizar corretamente o padrão numérico mostrado na tabela do enunciado.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Combinação simples: usada quando se escolhem p elementos de um total de n, sem repetição e sem importar a ordem. Aqui, escolher "A e B" para uma partida é idêntico a escolher "B e A" — não existe ordem, então é combinação, não arranjo.
• Fórmula C(n,2): C(n,2) = n!/(2!·(n−2)!) = n(n−1)/2. Ela representa quantos pares distintos (partidas) podem ser formados entre n jogadores.
• Números triangulares: a sequência 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, ... é formada pela soma dos primeiros naturais (Tₖ = k(k+1)/2). Cada termo C(n,2) coincide com o (n−1)-ésimo número triangular, o que explica o crescimento mostrado na tabela do enunciado.
• Leitura de tabela/padrão: o ENEM frequentemente fornece parte de uma sequência e espera que o estudante identifique a lei de formação para extrapolar o próximo termo — uma estratégia válida mesmo sem lembrar a fórmula de combinação de cor.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "cada jogador joga uma única vez com cada um dos outros jogadores" → confirma o formato todos-contra-todos (round-robin), sem jogos repetidos e sem um jogador enfrentar a si mesmo. Isso é a assinatura clássica de uma combinação C(n,2).
• Evidência 2: a tabela associa (jogadores, partidas): (2,1), (3,3), (4,6), (5,10), (6,15), (7,21) → uma sequência crescente cujos incrementos (2, 3, 4, 5, 6) aumentam em 1 unidade a cada passo, típico de números triangulares.
• Síntese: a tabela é uma pista visual do padrão, mas o caminho mais seguro e generalizável — que funciona para qualquer quantidade de jogadores, inclusive fora da tabela, como 8 — é reconhecer a fórmula de combinação simples C(n,2) = n(n−1)/2 por trás dos números apresentados.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Confirmando que a fórmula C(n,2) = n(n−1)/2 explica a tabela

Testando a fórmula em cada linha da tabela:

• n = 2: 2×1/2 = 1 ✓
• n = 3: 3×2/2 = 3 ✓
• n = 4: 4×3/2 = 6 ✓
• n = 5: 5×4/2 = 10 ✓
• n = 6: 6×5/2 = 15 ✓
• n = 7: 7×6/2 = 21 ✓

Todos os valores da tabela batem perfeitamente com C(n,2). Isso comprova que o número de partidas para n jogadores é sempre n(n−1)/2 — ou seja, o total de pares distintos que podem ser formados entre n participantes.

Subpasso 4.2 — Aplicando a fórmula para n = 8

C(8,2) = 8 × 7 / 2 = 56 / 2 = 28

Subpasso 4.3 — Verificação por dois caminhos independentes

Caminho 1 (contagem direta): cada um dos 8 jogadores enfrenta 7 adversários, gerando 8 × 7 = 56 "encontros orientados" (A-contra-B e B-contra-A contados separadamente). Como a partida A × B é fisicamente a mesma partida que B × A, cada jogo foi contado duas vezes — dividindo por 2, chega-se a 56 ÷ 2 = 28.

Caminho 2 (extrapolação da tabela): ao entrar o 8º jogador em um torneio que já tinha 7 jogadores (21 partidas), esse novo jogador precisa enfrentar cada um dos 7 já existentes, criando exatamente 7 partidas novas. Logo: 21 + 7 = 28.

Os dois métodos convergem para o mesmo resultado: 28 partidas, o que confirma a alternativa E.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 64

❌ Incorreta: corresponde a 8², erro de quem calcula "8 jogadores vezes 8 possíveis adversários", incluindo indevidamente cada jogador jogando contra si mesmo e sem eliminar as repetições — um raciocínio de potenciação que não representa pares distintos.

B) 56

❌ Incorreta: é o resultado de 8 × 7, a contagem de confrontos "ordenados" (contando A × B e B × A como partidas diferentes). É a armadilha mais comum da questão: esquecer de dividir por 2 para eliminar a dupla contagem de cada partida.

C) 49

❌ Incorreta: equivale a 7², obtido ao elevar ao quadrado o número de adversários de cada jogador (7) em vez de aplicar a combinação — um erro conceitual que confunde "número de rivais" com uma operação de potenciação sem sentido combinatório.

D) 36

❌ Incorreta: é justamente o número de partidas que ocorreriam com 9 jogadores (C(9,2) = 9×8/2 = 36), o próximo termo da sequência triangular. É o erro típico de quem desliza uma posição na tabela ou soma um incremento a mais ao extrapolar o padrão.

E) 28

✅ Correta: C(8,2) = 8×7/2 = 28, resultado confirmado tanto pela fórmula de combinação simples quanto pela extrapolação direta da sequência triangular apresentada na tabela do enunciado.

🏆 Gabarito: E — com 8 jogadores, cada um enfrentando todos os demais uma única vez, o número de partidas é C(8,2) = 8×7/2 = 28, valor coerente com o padrão triangular (1, 3, 6, 10, 15, 21, 28...) mostrado na tabela.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: 28 é o único valor compatível simultaneamente com a fórmula C(n,2) = n(n−1)/2 e com a extrapolação natural da sequência de números triangulares fornecida na tabela — nenhuma outra alternativa satisfaz as duas verificações ao mesmo tempo.
• Padrão de cobrança: o ENEM cobra combinação simples com frequência em contextos de "todos contra todos" — torneios, apertos de mão entre convidados, número de diagonais de um polígono, número de segmentos de reta determinados por pontos — sempre que a ordem dos elementos escolhidos não importa.
• Generalização: sempre que cada par de elementos gera um único evento (uma partida, um aperto de mão, um segmento) e a ordem não faz diferença (A com B é igual a B com A), o total de eventos é dado por C(n,2) = n(n−1)/2.
• Dica de eliminação rápida: desconfie de alternativas que sejam quadrados perfeitos "óbvios" do enunciado (como 8² = 64 ou 7² = 49) — costumam ser armadilhas de multiplicação direta sem lógica combinatória. Se a tabela estiver disponível, basta somar ao último valor a diferença que viria a seguir (21 + 7 = 28) para confirmar a resposta sem precisar decorar fórmula.
• Conexões: o mesmo raciocínio resolve problemas de "número de apertos de mão entre n pessoas em uma festa" e "número de diagonais/segmentos determinados por n pontos de um polígono convexo", temas recorrentes em provas de vestibular e no próprio ENEM.