Questão 161 — ENEM 2017Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Otimização com função quadrática (perímetro fixo, área máxima)
• ⚡ Nível: Médio — exige traduzir um texto real em restrição algébrica e depois aplicar vértice de parábola ou desigualdade das médias
• 🎯 Tema/Habilidade: Máximos e mínimos de função quadrática aplicados a um problema de otimização geométrica (competência de modelagem matemática)
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Entre todos os retângulos de perímetro 100 m, qual par de dimensões X e Y produz a maior área possível de base?"
• Palavras-chave decisivas: 100 metros lineares, apenas nas laterais, área da base seja máxima
• Armadilha típica: testar um par "bonito" como 10 e 10 (achando que quadrado sempre resolve, sem checar se ele realmente esgota os 100 m de tela) ou esquecer o fator 2 do perímetro e trabalhar diretamente com X+Y=100.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de montar a equação de restrição (perímetro = 100) e usar otimização (vértice da parábola ou MA-MG) para encontrar o par que maximiza o produto X·Y sujeito a essa restrição — não basta "chutar" um valor que pareça razoável.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Perímetro do retângulo: para uma base retangular de lados X e Y, o contorno total mede P = 2X + 2Y. É esse contorno que consome a tela, já que a altura da tela é constante e não entra na conta em "metros lineares".
• Função quadrática e vértice: ao isolar Y em função de X e substituir em A = X·Y, obtém-se uma parábola com concavidade para baixo, cujo vértice fornece o valor máximo da área.
• Desigualdade das médias (MA ≥ MG): para uma soma X+Y fixa, o produto X·Y é máximo exatamente quando X = Y. Esse resultado clássico confirma, sem cálculo de derivada, que o retângulo ótimo de perímetro fixo é o quadrado.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "prismas reto-retangulares, fixados ao solo... telas... usadas apenas nas laterais" → como o viveiro é fixado ao solo, o fundo da base não precisa de tela (o próprio chão faz esse papel); a tela forma só as quatro paredes verticais, cujo comprimento total, na base, é o perímetro do retângulo X por Y.
• Evidência 2: "utiliza integralmente 100 metros lineares dessa tela" → a cooperativa gasta exatamente 100 m, sem sobra e sem falta. Isso transforma o problema em uma restrição de igualdade: 2X + 2Y = 100.
• Síntese: como a altura da tela é sempre a mesma, o único fator que varia de viveiro para viveiro é o formato da base. A pergunta então se reduz a um problema clássico de otimização: fixado o perímetro em 100 m, qual retângulo tem a maior área?

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Montar a equação de restrição

Toda a tela forma o perímetro da base:

2X + 2Y = 100 → X + Y = 50 → Y = 50 − X, com 0 < X < 50.

Subpasso 4.2 — Escrever a área em função de uma só variável e maximizar

A área da base é A = X · Y. Substituindo Y:

A(X) = X · (50 − X) = 50X − X² = −X² + 50X.

Essa é uma função quadrática com a = −1 (concavidade para baixo), logo tem um ponto de máximo no vértice da parábola:

X_v = −b / (2a) = −50 / (2 · (−1)) = 25.

Logo Y = 50 − 25 = 25.

A_máx = 25 × 25 = 625 m².

Caminho alternativo (desigualdade das médias): como X + Y = 50 é fixo, a MA-MG garante

X·Y ≤ [(X+Y)/2]² = 25² = 625,

com igualdade se, e somente se, X = Y. Ou seja, X = Y = 25 é o único par que atinge esse teto — mesma conclusão obtida pelo vértice da parábola.

Subpasso 4.3 — Verificação

Confira o par (25, 25): perímetro = 2(25+25) = 100 m ✓ (usa toda a tela, como exige o enunciado). Área = 625 m². Testando um par vizinho, como (20, 30): perímetro também é 100 m, mas área = 600 m² < 625 m². Testando (1, 49): área = 49 m², bem menor. Isso confirma que (25, 25) é de fato o máximo — e esse par aparece exatamente na alternativa D.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 1 e 49

❌ Incorreta: satisfaz a restrição (2×(1+49)=100, usa toda a tela), mas é um retângulo extremamente alongado. A área vale apenas 1×49 = 49 m², muito abaixo do máximo de 625 m². É a armadilha de quem confunde "usar toda a tela" com "maximizar a área" — todo par com soma 50 usa a tela corretamente, mas só um deles maximiza o produto.

B) 1 e 99

❌ Incorreta: aqui a soma X+Y = 100, não 50. Isso corresponde ao erro clássico de esquecer o fator 2 na fórmula do perímetro, tratando X+Y=100 em vez de 2X+2Y=100. Se fosse verdade, o perímetro real seria 2×(1+99)=200 m — o dobro da tela disponível. A alternativa nem respeita a restrição do problema.

C) 10 e 10

❌ Incorreta: é um quadrado, o que faz o estudante pensar (corretamente) em "quadrado maximiza área", mas escolhe o quadrado errado. Com X=Y=10, o perímetro usado seria 2×(10+10)=40 m, deixando 60 m de tela sem uso — contraria a exigência de utilizar "integralmente" os 100 m. A área (100 m²) sequer é a máxima possível dentro da restrição correta.

D) 25 e 25

✅ Correta: satisfaz exatamente a restrição 2×(25+25) = 100 m (toda a tela é usada) e, entre todos os pares com soma 50, é o único que maximiza o produto X·Y, resultando na maior área possível: 625 m². É o resultado direto do vértice da parábola A(X) = −X²+50X e também da igualdade na desigualdade das médias.

E) 50 e 50

❌ Incorreta: mesmo erro de B — soma X+Y=100 em vez de 50, o que exigiria 2×(50+50)=200 m de tela, o dobro do disponível. É comum surgir quando o estudante divide o perímetro por 2 apenas uma vez (achando X+Y=100) em vez de reconhecer que 2X+2Y=100 já embute o fator 2 duas vezes.

🏆 Gabarito: D — X = Y = 25 é o único par que usa integralmente os 100 m de tela (perímetro 2×25+2×25=100) e, entre todos os retângulos com essa restrição, é o que maximiza a área da base, atingindo 625 m².

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: apenas o par (25, 25) satisfaz simultaneamente as duas exigências do enunciado: usar exatamente 100 m de tela e maximizar a área da base — as demais alternativas ou violam a restrição de perímetro ou não maximizam a área.
• Padrão de cobrança: o ENEM adora contextualizar otimização de perímetro/área com cenários reais (currais, viveiros, hortas, cercados) — a matemática por trás é sempre a mesma: transformar um contexto físico em uma equação de restrição e depois aplicar vértice de parábola ou MA-MG.
• Generalização: para qualquer retângulo com perímetro fixo P, a área é máxima quando o retângulo é um quadrado de lado P/4 — regra que resolve instantaneamente qualquer variação desse problema.
• Dica de eliminação rápida: primeiro verifique quais alternativas realmente satisfazem a restrição do perímetro (2X+2Y=100 → X+Y=50); isso já elimina B e E, cuja soma é 100. Entre as que sobram, lembre que "soma fixa, produto máximo quando os valores são iguais" aponta direto para D, descartando A e C sem precisar calcular a área de cada uma.
• Conexões: o mesmo raciocínio aparece em problemas de "área máxima com fio/cerca de comprimento fixo" e em otimizações com restrição de volume ou custo, sempre resolvidas por vértice de parábola, derivada de função de uma variável ou desigualdade das médias.