Questão 150 — ENEM 2017Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Plana / Transformações Geométricas (rotação e ângulos)
• ⚡ Nível: Médio — a conta é simples, mas exige visualizar mentalmente a rotação de um quadrado em torno de um ponto fixo e comparar orientações antes/depois da queda.
• 🎯 Tema/Habilidade: Rotação de figuras planas em torno de um ponto fixo; leitura e interpretação de ângulos formados com a linha do horizonte.
• 🏆 Gabarito: B — revelado após a resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Qual o menor ângulo (e em qual sentido), aplicado à tela na posição em que ela caiu, faz com que ela volte exatamente à posição original?"
• Palavras-chave decisivas: girando rente à parede, menor ângulo possível inferior a 360°, posição original
• Armadilha típica: confundir o ângulo de 45° citado no enunciado (que é apenas a inclinação da tela caída em relação à horizonte) com o ângulo de rotação que deve ser aplicado para desfazer o giro — são grandezas diferentes.
• O que a resposta precisa demonstrar: o ângulo exato e o sentido (horário ou anti-horário) que devolvem cada vértice da tela ao ponto onde estava antes de se desprender, usando o ponto B (que permaneceu fixo) como centro da rotação.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Rotação no plano: transformação geométrica que gira todos os pontos de uma figura em torno de um ponto fixo (centro de rotação), por um ângulo e sentido determinados, preservando forma e tamanho da figura.
• Ângulos coterminais (rotações equivalentes): girar θ° no sentido horário produz a mesma posição final que girar (360° − θ°) no sentido anti-horário. Por isso, um mesmo resultado pode aparecer descrito de duas formas diferentes entre as alternativas.
• Diagonal do quadrado como referência: em um quadrado "reto" (lados na horizontal/vertical), a diagonal forma 45° com os lados — ou seja, aponta em uma direção que é múltiplo ímpar de 45° (45°, 135°, 225°, 315°). Já quando o quadrado gira 45° e vira um "losango" (vértice para cima), sua diagonal fica na vertical ou na horizontal (múltiplo de 90°). Essa diferença é o que permite identificar, só olhando a direção da diagonal, se a tela está "reta" ou "torta".

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "fixada nos pontos A e B" + "por um problema na fixação de um dos pontos, a tela se desprendeu" → B permaneceu fixo na parede, funcionando como o pivô (centro) de toda a rotação; A é o ponto que se soltou e por isso aparece "flutuando" sozinho na figura.
• Evidência 2: a figura mostra, após a queda, a tela em formato de losango, com B no vértice superior e um ângulo de 45° entre a linha do horizonte (traçada a partir de B) e a aresta da tela → essa é a inclinação final da tela, e mostra que ela passou de "quadrado reto" para "losango" em torno de B.
• Síntese: como B é fixo, basta comparar a orientação da diagonal B→A antes da queda com a orientação dessa mesma diagonal (imaginária) depois da queda. A diferença angular entre essas duas orientações é o giro que a tela sofreu ao cair; o giro de retorno é o oposto desse valor, escolhendo o caminho mais curto (menor que 360°).

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Fixar o referencial e localizar a diagonal original

Coloque B na origem de um sistema de eixos, com o eixo horizontal representando a linha do horizonte. Na posição original, a tela é um quadrado "reto" (lados horizontais e verticais). Sendo B o vértice inferior direito e A o vértice superior esquerdo (vértices opostos, ligados pela diagonal), a direção que vai de B até A aponta para cima e para a esquerda — ou seja, faz 135° com o eixo horizontal positivo (medindo no sentido anti-horário, como é padrão em geometria). Essa é a "assinatura angular" da posição original: diagonal B→A a 135°.

Subpasso 4.2 — Localizar a diagonal na posição em que a tela caiu

Na figura após o giro, a tela virou um losango: B está no vértice de cima, e as duas arestas que saem de B descem simetricamente, cada uma fazendo 45° com a linha do horizonte. Isso é a marca registrada de um losango "em pé": sua diagonal vertical (que liga o vértice de cima ao vértice de baixo) fica exatamente na direção de 270° (apontando para baixo). Como essa diagonal vertical é justamente a mesma diagonal B→A da posição original (só que rotacionada), concluímos que a diagonal que antes apontava a 135° agora aponta a 270°.

Subpasso 4.3 — Calcular o ângulo de retorno e verificar

A diagonal girou de 135° para 270°, uma variação de 270° − 135° = 135° no sentido anti-horário — foi esse o giro sofrido na queda. Para desfazer exatamente esse giro e voltar à posição original, é preciso girar a tela 135° no sentido oposto, ou seja, no sentido horário.

Verificação: aplicando −135° (135° horário) à direção atual da diagonal, 270° − 135° = 135°, que é exatamente a direção original. Confere! Note ainda que 135° horário equivale a 360° − 135° = 225° anti-horário — as duas descrições levam à mesma posição final —, mas como o enunciado pede o menor ângulo positivo inferior a 360°, comparamos 135° e 225°, e 135° é o menor. Como a ilustração do peixe não tem nenhuma simetria de rotação, apenas esse valor específico (135° horário, equivalente a −135°) devolve cada vértice ao seu lugar exato — qualquer outro ângulo deixaria a tela em uma posição diferente da original.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 90° no sentido horário.

❌ Incorreta: aplicando −90° à diagonal atual (270°), ela vai para 270° − 90° = 180°, uma direção múltipla de 90°. Isso significa que a tela continuaria no "formato losango" (torta), apenas apontando para outro lado — não retorna ao quadrado reto original, cuja diagonal precisa estar a 135° (múltiplo ímpar de 45°).

B) 135° no sentido horário.

✅ Correta: como demonstrado no Passo 4, girar 135° no sentido horário leva a diagonal de 270° de volta a 135°, reconstituindo exatamente a orientação original da tela — o menor ângulo positivo (entre 135° e seu equivalente de 225° anti-horário) que cumpre a condição pedida.

C) 180° no sentido anti-horário.

❌ Incorreta: girando +180°, a diagonal vai de 270° para 270° + 180° = 90° (mod 360°) — também múltiplo de 90°. A tela permaneceria em formato de losango, apenas invertida (o vértice que estava embaixo passaria para cima), sem nunca reconstituir o quadrado com lados horizontais/verticais.

D) 270° no sentido anti-horário

❌ Incorreta: um giro de 270° anti-horário equivale matematicamente a 90° horário (360° − 270° = 90°), levando ao mesmo resultado errado da alternativa A: a diagonal termina em 180°, e a tela continua "torta", em formato de losango.

E) 315° no sentido horário.

❌ Incorreta: aplicando −315° à diagonal atual, 270° − 315° = −45°, que equivale a 315° (mod 360°). Embora essa direção seja um múltiplo ímpar de 45° (fazendo a tela voltar a ter lados horizontais/verticais), 315° é o oposto de 135° (diferem em 180°) — a tela ficaria "reta", mas de cabeça para baixo em relação à posição correta, com B ocupando o canto errado e a tela projetada para o lado oposto ao da parede original.

🏆 Gabarito: B — Girar a tela 135° no sentido horário é o único movimento, entre as opções, que devolve a diagonal B→A de 270° para exatamente 135°, reconstituindo a posição original com o menor ângulo positivo possível.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só 135° no sentido horário (equivalente a −135°, ou 225° anti-horário) leva cada vértice da tela de volta ao ponto exato de origem; é também, entre as duas formas de descrever esse mesmo giro, a de menor valor absoluto — exatamente o que o enunciado pede.
• Padrão de cobrança: o ENEM costuma explorar rotações em torno de um ponto fixo usando objetos do cotidiano (quadros, relógios, engrenagens, ponteiros, embalagens), pedindo para comparar a orientação "antes" e "depois" e calcular o ângulo que liga as duas situações.
• Generalização: em qualquer questão de rotação em torno de um ponto fixo, escolha uma referência que "aparece" nas duas figuras (aresta, diagonal, ponteiro), meça sua direção antes e depois, e a diferença entre essas direções é o ângulo de giro — o sentido do giro (horário/anti-horário) sai naturalmente do sinal dessa diferença.
• Dica de eliminação rápida: lembre-se de que x° no sentido horário é sempre equivalente a (360° − x°) no sentido anti-horário; se duas alternativas descrevem a mesma rotação por caminhos diferentes (como A e D nesta questão, ambas equivalentes a 90° horário), as duas só podem estar erradas juntas ou certas juntas — nunca uma certa e outra errada.
• Conexões: o mesmo raciocínio de "ângulo entre orientações" aparece em questões de simetria de figuras planas e em problemas de ponteiros de relógio, outro clássico do ENEM que também usa rotação em torno de um ponto fixo.