Questão 162 — ENEM 2017Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Analítica e Funções (reconhecimento de curvas a partir da equação: reta, parábola, circunferência, hipérbole)
• ⚡ Nível: Médio — não há conta pesada, mas é preciso reconhecer a "assinatura algébrica" de cada curva e enxergar a hipérbole escondida atrás de uma translação de eixos
• 🎯 Tema/Habilidade: Associar uma equação a sua representação geométrica no plano cartesiano (competência de modelagem e leitura de funções)
• 🏆 Gabarito: E — revelado após a resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "A equação de Hill, (p + a)(v + b) = K, corresponde a qual tipo de curva no plano cartesiano de coordenadas (p, v)?"
• Palavras-chave decisivas: (p + a)(v + b) = K, representação geométrica no plano cartesiano, par de coordenadas (p, v), K > 0
• Armadilha típica: ver o produto de dois parênteses e concluir "vai virar um polinômio do 2º grau, logo é parábola". Não vira: ao expandir, aparece o termo p·v (produto das duas variáveis), e não p². É exatamente esse termo cruzado que caracteriza a hipérbole — a parábola exige p².
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de isolar v em função de p e identificar que a relação obtida é inversamente proporcional (v depende de 1/(p + a)) — a marca registrada da hipérbole.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• A "impressão digital" de cada curva: reta → v = mp + n (p só no 1º grau); parábola → v = αp² + βp + γ (p elevado ao quadrado); circunferência → (p − x₀)² + (v − y₀)² = r² (p e v ambos ao quadrado, somados, com coeficientes iguais); hipérbole equilátera → x·y = K, ou seja, produto constante entre as duas variáveis.
• Proporcionalidade inversa: quando duas grandezas têm produto constante (x·y = K), uma cresce exatamente na medida em que a outra diminui. O gráfico dessa relação é uma hipérbole equilátera, tendo os eixos como assíntotas.
• Translação de eixos: trocar x = p + a e y = v + b apenas desloca a origem do sistema; não muda o tipo de curva. Hipérbole transladada continua hipérbole.
• Domínio físico: peso p e velocidade v de contração são grandezas não negativas. Como só interessa a parte da curva com p ≥ 0 e v ≥ 0, aparece um único ramo da hipérbole — daí a alternativa falar em "ramo".

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "a velocidade V de contração de um músculo ao ser submetido a um peso p é dada pela equação (p + a) (v +b) = K" → o produto de duas expressões — uma só em p, outra só em v — é constante. Essa é literalmente a definição de proporcionalidade inversa entre (p + a) e (v + b).
• Evidência 2: "utilizando o par de coordenadas (p. V). Admita que K> 0" → o eixo horizontal é o peso p, o vertical é a velocidade v, e a constante do produto é positiva; logo, no domínio físico, os fatores (p + a) e (v + b) são ambos positivos.
• Evidência 3 (quadro): o quadro "Tipo de curva" lista as cinco possibilidades — semirreta oblíqua, semirreta horizontal, ramo de parábola, arco de circunferência e ramo de hipérbole → a questão é puro reconhecimento: basta identificar a assinatura algébrica da equação.
• Síntese: a equação diz "produto constante". Basta isolar v e verificar se p aparece no denominador. Se aparecer, é hipérbole — e nenhuma das outras quatro curvas admite isso.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Isolar v em função de p

Partindo da equação de Hill:

(p + a)(v + b) = K

Dividindo os dois lados por (p + a), que é positivo no domínio físico:

v + b = K ÷ (p + a)

Logo:

v = K/(p + a) − b

Pronto: a variável p ficou no denominador. Isso sozinho já elimina reta (p no 1º grau), parábola (p²) e circunferência (p² + v²) — em nenhuma delas a variável independente divide.

Subpasso 4.2 — Reconhecer a curva por translação de eixos

Faça a mudança de variáveis:

• x = p + a
• y = v + b

A equação se reduz a:

x · y = K

Essa é a forma canônica da hipérbole equilátera, cujas assíntotas são os eixos x = 0 e y = 0. Voltando às variáveis originais, as assíntotas são as retas p = −a e v = −b. A translação apenas mudou a curva de lugar; a natureza dela continua sendo hipérbole.

Subpasso 4.3 — Verificação

Um teste numérico confirma. Tome a = 1, b = 1 e K = 12, de modo que v = 12/(p + 1) − 1:

• p = 0 → v = 12/1 − 1 = 11
• p = 1 → v = 12/2 − 1 = 5
• p = 2 → v = 12/3 − 1 = 3
• p = 3 → v = 12/4 − 1 = 2
• p = 5 → v = 12/6 − 1 = 1

Observe o comportamento: v despenca no começo (queda de 6, depois de 2, depois de 1) e vai se achatando, aproximando-se de v = −b = −1 sem nunca alcançar esse valor. Não é reta (a queda não é constante), não é parábola (parábola não tem assíntota), não é arco de circunferência (que é limitado). É exatamente o comportamento assintótico de um ramo de hipérbole — e faz sentido fisiologicamente: quanto maior o peso, mais devagar o músculo se contrai, com a velocidade tendendo a um limite.

Esse é o tipo de curva da alternativa E.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) Semirreta oblíqua.

❌ Incorreta: semirreta oblíqua corresponde a v = mp + n, em que p aparece apenas no 1º grau e a taxa de variação é constante. Na equação de Hill, v = K/(p + a) − b, e a taxa de queda de v diminui conforme p cresce (no teste numérico, v caiu 6, depois 2, depois 1). Além disso, reta nenhuma possui assíntota.

B) semirreta horizontal.

❌ Incorreta: semirreta horizontal significaria v constante, independente de p — o músculo contrairia na mesma velocidade carregando 1 kg ou 100 kg. Isso contradiz a própria equação: para o produto (p + a)(v + b) permanecer igual a K, aumentar p obriga v a diminuir.

C) ramo de parábola.

❌ Incorreta: é a armadilha mais atrativa. Expandindo (p + a)(v + b) = K, obtemos p·v + bp + av + ab = K — o termo cruzado p·v, e não p². Parábola exige a variável independente elevada ao quadrado (v = αp² + βp + γ). E parábola não tem assíntota, enquanto a curva de Hill se aproxima indefinidamente de v = −b.

D) arco de circunferência.

❌ Incorreta: circunferência tem equação (p − x₀)² + (v − y₀)² = r², com p² e v² somados e coeficientes iguais. A equação de Hill não possui termo quadrático algum — tem um produto p·v. Além disso, um arco de circunferência é limitado, enquanto a curva de Hill se estende indefinidamente conforme p cresce.

E) ramo de hipérbole.

✅ Correta: isolando, v = K/(p + a) − b; com a translação x = p + a e y = v + b, a equação vira x·y = K, forma canônica da hipérbole equilátera. Como o contexto físico impõe p ≥ 0 e v ≥ 0, apenas um dos dois ramos tem significado — daí "ramo de hipérbole".

🏆 Gabarito: E — a equação (p + a)(v + b) = K, sob a translação x = p + a e y = v + b, reduz-se a x·y = K, a hipérbole equilátera; restrita ao domínio físico (p ≥ 0), a curva é um ramo de hipérbole.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: E é a única alternativa compatível com uma relação de produto constante entre duas variáveis. Nenhuma das outras quatro curvas tem assíntota nem admite a variável independente no denominador.
• Padrão de cobrança: o ENEM gosta de apresentar uma lei científica real (aqui, a equação de Hill, da fisiologia muscular) e pedir apenas o reconhecimento do tipo de gráfico. Não é preciso saber nada de fisiologia — é preciso saber ler a álgebra.
• Generalização: memorize as assinaturas. Variável só no 1º grau → reta. Uma variável ao quadrado → parábola. As duas ao quadrado, somadas com coeficientes iguais → circunferência. Produto das duas variáveis constante (xy = k) → hipérbole. Serve para qualquer questão de identificação de curva.
• Dica de eliminação rápida: isole a variável dependente em 10 segundos. Se a outra variável ficar no denominador, é hipérbole e acabou — isso mata A, B, C e D de uma só vez.
• Conexões: proporcionalidade inversa (Lei de Boyle dos gases, p·V = constante), funções racionais e estudo de assíntotas — todos aparecem no ENEM com essa mesma estrutura algébrica.