Questão 177 — ENEM 2017Caderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem com repetição)
• ⚡ Nível: Médio — as potências são fáceis, mas a condição do enunciado define um intervalo ("superior a X, mas não superior a 2X") que precisa ser lido com precisão cirúrgica
• 🎯 Tema/Habilidade: Contagem de senhas com elementos repetíveis + interpretação de desigualdades expressas em linguagem verbal
• 🏆 Gabarito: E — revelado após a resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Qual dos cinco formatos de senha gera um número de senhas MAIOR que 1 000 000 e, ao mesmo tempo, MENOR OU IGUAL a 2 000 000?"
• Palavras-chave decisivas: um milhão de clientes, podem se repetir, superior ao número esperado de clientes, não seja superior ao dobro
• Armadilha típica: tratar a opção II (DDDDDD = exatamente 1 000 000) como válida. O enunciado exige um número superior a um milhão — e 1 000 000 não é superior a 1 000 000, é igual. Um único sinal de desigualdade decide a questão.
• O que a resposta precisa demonstrar: cálculo correto de cada formato pelo princípio multiplicativo (com repetição permitida) e comparação rigorosa com o intervalo (1 000 000 ; 2 000 000].

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Princípio Fundamental da Contagem com repetição: se cada posição da senha pode ser preenchida independentemente, o total é o produto do número de opções de cada posição. Como as letras e os dígitos "podem se repetir", cada posição L tem sempre 26 opções e cada posição D tem sempre 10 opções.
• Fórmula direta: um formato com m letras e n dígitos gera 26^m × 10^n senhas distintas.
• Traduzindo o intervalo: "superior ao número esperado de clientes" → N > 1 000 000 (estritamente maior). "não seja superior ao dobro" → N ≤ 2 000 000 (pode ser igual ao dobro). Portanto: 1 000 000 < N ≤ 2 000 000.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "As letras do alfabeto, entre as 26 possíveis, bem como os dígitos, entre os 10 possíveis, podem se repetir em qualquer das opções" → cada L vale 26 e cada D vale 10, sempre. Nada de arranjos sem repetição.
• Evidência 2: "espera atrair um público de aproximadamente um milhão de clientes" → o número de referência é 1 000 000; o dobro dele é 2 000 000.
• Evidência 3 (quadro de formatos): I = LDDDDD; II = DDDDDD; III = LLDDDD; IV = DDDDD; V = LLLDD → basta contar quantos L e quantos D há em cada linha e aplicar 26^m × 10^n.
• Síntese: calcular os cinco valores e testar, um a um, se caem no intervalo (1 000 000 ; 2 000 000].

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Calcular o número de senhas de cada formato

Opção I — LDDDDD (1 letra e 5 dígitos):

26¹ × 10⁵ = 26 × 100 000 = 2 600 000

Opção II — DDDDDD (6 dígitos):

10⁶ = 1 000 000

Opção III — LLDDDD (2 letras e 4 dígitos):

26² × 10⁴ = 676 × 10 000 = 6 760 000

Opção IV — DDDDD (5 dígitos):

10⁵ = 100 000

Opção V — LLLDD (3 letras e 2 dígitos):

26³ × 10² = 17 576 × 100 = 1 757 600

(Detalhe da conta: 26³ = 26 × 26 × 26 = 676 × 26 = 17 576.)

Subpasso 4.2 — Testar cada valor no intervalo exigido

A condição é: 1 000 000 < N ≤ 2 000 000.

| Opção | Formato | Nº de senhas | N > 1 000 000? | N ≤ 2 000 000? | Serve? |

|---|---|---|---|---|---|

| I | LDDDDD | 2 600 000 | ✔ sim | ✘ não (passa de 2 milhões) | não |

| II | DDDDDD | 1 000 000 | ✘ não (é igual, não maior) | ✔ sim | não |

| III | LLDDDD | 6 760 000 | ✔ sim | ✘ não (muito acima) | não |

| IV | DDDDD | 100 000 | ✘ não (dez vezes menor) | ✔ sim | não |

| V | LLLDD | 1 757 600 | ✔ sim | ✔ sim | SIM |

Subpasso 4.3 — Verificação

Só a opção V passa nos dois testes ao mesmo tempo:

1 000 000 < 1 757 600 ≤ 2 000 000 ✓

Ela oferece senhas suficientes para o público esperado (757 600 senhas a mais que o número de clientes, uma folga confortável), sem exagerar no tamanho do espaço de senhas (fica abaixo dos 2 000 000 estipulados como teto). É a opção V, alternativa E.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) I.

❌ Incorreta: o formato LDDDDD gera 26 × 10⁵ = 2 600 000 senhas. Cumpre a primeira condição (é superior a um milhão), mas viola a segunda: 2 600 000 > 2 000 000, ou seja, ultrapassa o dobro do número esperado de clientes. A empresa pediu explicitamente que o total "não seja superior ao dobro".

B) II.

❌ Incorreta: DDDDDD gera 10⁶ = exatamente 1 000 000 de senhas. O enunciado exige um número superior ao número esperado de clientes — e 1 000 000 não é superior a 1 000 000. É a armadilha mais fina da questão: quem lê "superior" como "superior ou igual" cai aqui. Na prática, não sobraria uma única senha de folga.

C) III.

❌ Incorreta: LLDDDD gera 26² × 10⁴ = 676 × 10 000 = 6 760 000 senhas — mais de três vezes o teto de 2 000 000. Cada letra adicional multiplica o total por 26, e duas letras já disparam o número muito além do intervalo permitido.

D) IV.

❌ Incorreta: DDDDD gera apenas 10⁵ = 100 000 senhas — dez vezes menos que o número esperado de clientes. Nem daria para atender a todo o público: faltariam 900 000 senhas. Falha na primeira condição, e de forma dramática.

E) V.

✅ Correta: LLLDD gera 26³ × 10² = 17 576 × 100 = 1 757 600 senhas. Esse valor é maior que 1 000 000 (atende a todos os clientes esperados, com folga) e não passa de 2 000 000 (respeita o teto do dobro). É o único formato que satisfaz as duas condições simultaneamente.

🏆 Gabarito: E — a opção V (LLLDD) produz 26³ × 10² = 1 757 600 senhas distintas, único valor no intervalo exigido pela empresa: superior a 1 000 000 e não superior a 2 000 000.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: E é a única opção dentro do intervalo (1 000 000 ; 2 000 000]. I e III estouram o teto; II empata com o piso (e "superior" exige ultrapassá-lo); IV nem chega perto.
• Padrão de cobrança: o ENEM cobra senhas, placas de carro e códigos com muita frequência. O cálculo é sempre o mesmo (26 para cada letra, 10 para cada dígito, multiplicando), e a dificuldade está escondida na interpretação verbal da condição — "superior a", "no mínimo", "não superior a" mudam completamente o resultado.
• Generalização: um formato com m letras e n dígitos, todos repetíveis, gera 26^m × 10^n possibilidades. Memorize as potências úteis: 26 = 26, 26² = 676, 26³ = 17 576.
• Dica de eliminação rápida: conte os dígitos primeiro. IV tem só 5 dígitos e nenhuma letra → no máximo 100 000, morto de saída. II tem 6 dígitos e dá exatamente 1 milhão → não é "superior". Sobram I, III e V, todas com letras: cada letra multiplica por 26, então quanto mais letras, maior o total. III (2 letras + 4 dígitos = 6 760 000) e I (1 letra + 5 dígitos = 2 600 000) estouram o teto. Resta V.
• Conexões: arranjos com repetição, princípio multiplicativo e leitura de desigualdades — a mesma estrutura aparece em questões de placas de veículos, códigos de barras e combinações de cardápio.