Questão 180 — ENEM 2021 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Potenciação (potência de potência) e Radiciação
• ⚡ Nível: Médio — exige traduzir uma sequência de operações da calculadora em uma única expressão algébrica, sem calcular o valor numérico final
• 🎯 Tema/Habilidade: Propriedades de potenciação (potência de potência) associadas à radiciação — competência de representar simbolicamente um processo operacional
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Escreva, como uma única expressão matemática, o resultado de elevar 8 ao quadrado três vezes seguidas e, depois, extrair a raiz cúbica do resultado."
• Palavras-chave decisivas: eleva ao quadrado, três vezes, raiz cúbica
• Armadilha típica: confundir "apertar A três vezes" com "elevar a 8³" (multiplicar o expoente por 3, em vez de aplicar o quadrado sucessivamente, que multiplica o expoente por 2 a cada aperto) — é exatamente o erro embutido nas alternativas A, C e D
• O que a resposta precisa demonstrar: domínio da regra "potência de potência" (elevar um número que já é uma potência a um novo expoente) aplicada repetidamente, e não apenas a soma ou a multiplicação simples de expoentes

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Potência de potência: (aᵐ)ⁿ = a^(m×n). Quando um número já elevado a um expoente é elevado novamente, os expoentes se multiplicam — não se somam.
• Radiciação como potência fracionária: ⁿ√(aᵐ) = a^(m/n). A tecla de raiz cúbica aplicada ao visor equivale a elevar o conteúdo do visor ao expoente 1/3, mas o enunciado pede a representação com o radical, não a simplificação numérica.
• Efeito cumulativo de operações repetidas na calculadora: cada vez que a tecla A (x²) é pressionada, o expoente atual do número no visor é multiplicado por 2. Repetir essa operação n vezes multiplica o expoente original por 2ⁿ.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "A tecla A eleva ao quadrado o número que está no visor" → cada aperto de A não recomeça do número original 8; ele eleva ao quadrado o que já está no visor naquele instante, ou seja, as operações se acumulam em sequência.
• Evidência 2: "apertou três vezes a tecla A e depois uma vez a tecla B" → a ordem importa: primeiro três quadrados consecutivos (não simultâneos), só depois a raiz cúbica é aplicada ao resultado final desses três quadrados.
• Síntese: o problema pede que se reconheça que "elevar ao quadrado três vezes seguidas" gera um expoente 2×2×2 (e não 2+2+2 nem 3×2), e que esse resultado, ao final, entra como radicando de uma raiz cúbica.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Simular o primeiro aperto da tecla A

O visor começa com 8. Ao apertar A pela primeira vez, o número é elevado ao quadrado:

8 → 8²

Subpasso 4.2 — Simular o segundo e o terceiro apertos da tecla A

A tecla A não recomeça do 8; ela eleva ao quadrado o que está no visor no momento. Assim, no segundo aperto, eleva-se 8² ao quadrado, aplicando a propriedade de potência de potência (aᵐ)ⁿ = a^(m×n):

2º aperto: (8²)² = 8^(2×2) = 8⁴

No terceiro aperto, eleva-se 8⁴ ao quadrado novamente:

3º aperto: (8⁴)² = 8^(4×2) = 8⁸

Observe que 8⁸ pode ser escrito como 8^(2×2×2), já que cada um dos três apertos de A contribui com um fator 2 no expoente (2×2×2 = 8). Essa é a essência do problema: a repetição de "elevar ao quadrado" três vezes multiplica o expoente original por 2 três vezes, e não o soma três vezes.

Subpasso 4.3 — Verificação: aplicar a tecla B (raiz cúbica)

Com 8⁸ = 8^(2×2×2) no visor, a pessoa aperta B, que extrai a raiz cúbica do número apresentado:

³√(8^(2×2×2))

Essa é exatamente a expressão pedida pelo enunciado, sem necessidade de calcular o valor numérico final — o que confirma que a alternativa buscada é a que representa ³√(8^(2×2×2)), coincidindo com a alternativa B.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) ²√(8^(3+3+3))

❌ Incorreta: troca o índice da raiz (usa raiz quadrada em vez de cúbica, ignorando que a tecla B extrai raiz cúbica) e ainda soma os expoentes (3+3+3 = 9) em vez de multiplicá-los corretamente pelo efeito da potência de potência — erro duplo de índice e de expoente.

B) ³√(8^(2×2×2))

✅ Correta: o índice 3 representa fielmente a raiz cúbica da tecla B, e o expoente 2×2×2 = 8 representa corretamente o efeito acumulado de três aplicações sucessivas da tecla A (cada aperto multiplica o expoente atual por 2, pela propriedade de potência de potência).

C) ²√(8³ + 8³ + 8³)

❌ Incorreta: usa raiz quadrada (índice errado) e transforma a sequência de operações em uma soma de três parcelas de 8³, o que não corresponde a nenhuma operação realizada pela calculadora — a tecla A nunca soma valores, apenas eleva ao quadrado o que está no visor.

D) ³√(8² + 8² + 8²)

❌ Incorreta: embora o índice da raiz esteja certo (cúbica, coerente com a tecla B), a expressão soma três parcelas de 8² em vez de aplicar o quadrado sucessivamente sobre o resultado anterior; isso equivaleria a "apertar A" três vezes sempre a partir do número original e depois somar, o que não é o que a calculadora faz.

E) ³√(8² × 8² × 8²)

❌ Incorreta: o índice da raiz está certo, mas a multiplicação de três potências de mesma base soma os expoentes (8² × 8² × 8² = 8^(2+2+2) = 8⁶), resultado diferente de 8⁸. Essa alternativa confunde "multiplicar potências de mesma base" (que soma expoentes) com "elevar potência a potência sucessivamente" (que multiplica expoentes) — a pegadinha central da questão.

🏆 Gabarito: B — é a única expressão que representa corretamente tanto o índice da raiz cúbica (tecla B) quanto o expoente 2×2×2 = 8, resultado de aplicar a tecla A (elevar ao quadrado) três vezes em sequência sobre o próprio resultado anterior.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: somente a alternativa B usa o índice correto (raiz cúbica) e o expoente correto (2×2×2, fruto de três "quadrados encadeados"), reproduzindo fielmente o funcionamento da calculadora descrito no enunciado.
• Padrão de cobrança: o ENEM costuma testar potenciação e radiciação em contextos aplicados (calculadoras, ampliações de imagem, juros, medidas) para verificar se o aluno entende as propriedades de potências além da memorização mecânica de fórmulas.
• Generalização: sempre que uma operação for repetida sobre o próprio resultado anterior (não sobre o valor original), os expoentes se multiplicam entre si (regra da potência de potência); já quando valores de mesma base são multiplicados lado a lado, os expoentes se somam. Não confundir os dois processos é a chave para esse tipo de questão.
• Dica de eliminação rápida: primeiro identifique o índice da raiz pela descrição da tecla (aqui, "raiz cúbica" elimina A e C de cara, que trazem índice 2); depois verifique se o expoente veio de soma ou de multiplicação repetida — operações sucessivas e encadeadas (como apertar a mesma tecla várias vezes) quase sempre geram multiplicação de expoentes, não soma.
• Conexões: propriedades de potenciação (produto e potência de potência), notação de radicais como expoentes fracionários, interpretação de comandos sequenciais em contextos tecnológicos (calculadoras, planilhas, algoritmos).