Questão 157 — ENEM 2021 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Análise Combinatória (contagem de pares) e Equações do 2º grau
• ⚡ Nível: Médio — exige traduzir uma situação de contagem (turno e returno) em uma expressão algébrica, e não apenas resolver uma conta pronta
• 🎯 Tema/Habilidade: Modelagem matemática de situações-problema por meio de equações — competência de traduzir linguagem natural em linguagem matemática (H25/H26 da matriz do ENEM)
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Escreva a equação (em função de x, o número de times) que representa o total de 380 partidas de um campeonato em turno e returno."
• Palavras-chave decisivas: turno e returno, cada time jogará duas vezes com todos os outros, 380 partidas
• Armadilha típica: confundir "cada time joga duas vezes com todos os outros" com uma relação linear simples (como 2x = 380), ignorando que o número de confrontos cresce de forma combinatória, não linear, com o número de participantes.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de montar a equação — não de resolvê-la. A pergunta pede o modelo algébrico, então o candidato não precisa (e não deve perder tempo tentando) calcular o valor de x.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Combinação simples C(n,p): conta agrupamentos onde a ordem não importa. Para escolher 2 times dentre x, sem repetir e sem importar a ordem, usa-se C(x,2) = x(x−1)/2. Isso representa quantos jogos únicos (um confronto entre A e B) existem no torneio.
• Turno e returno: cada par de times se enfrenta duas vezes — uma vez como mandante, outra como visitante. Isso significa que o total de partidas é o dobro do número de confrontos distintos: 2 × C(x,2).
• Equação do 2º grau: ao multiplicar 2 pela fração x(x−1)/2, o 2 do denominador se cancela com o 2 do numerador, restando x(x−1) = x² − x, uma expressão quadrática pura, sem termo independente.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "cada time jogará duas vezes com todos os outros" → confirma que o mecanismo é combinatório (todos contra todos) multiplicado por 2 (ida e volta), não uma soma linear.
• Evidência 2: "totalizando 380 partidas a serem disputadas" → esse número é o resultado final da expressão que vamos montar; ele entra do lado direito da igualdade.
• Síntese: o problema pede a tradução direta de "todos contra todos, duas vezes" em fórmula. O caminho é: número de confrontos únicos × 2 = 380, que se simplifica algebricamente para uma equação quadrática sem termo constante.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Contar os confrontos únicos entre os times

Sejam x times no campeonato. Um "confronto" é um par não ordenado de times distintos. O número de pares distintos formáveis com x elementos é dado pela combinação C(x,2) = x(x−1)/2 — o total de jogos se cada dupla se enfrentasse apenas uma vez.

Subpasso 4.2 — Aplicar o turno e o returno

Como cada time joga duas vezes com cada adversário (turno + returno), o total de partidas é o dobro dos confrontos únicos:

Total = 2 × C(x,2) = 2 × [x(x−1)/2] = x(x−1) = x² − x

O fator 2 do turno/returno cancela o denominador 2 da combinação — por isso a equação final não tem frações.

Subpasso 4.3 — Verificação

Igualando ao total informado (380): x² − x = 380. Resolvendo x² − x − 380 = 0, obtém-se x = 20 (raiz positiva), e 20 times jogando entre si duas vezes geram C(20,2) × 2 = 190 × 2 = 380 partidas — o modelo confere.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) x = 380 – x²

❌ Incorreta: reorganização artificial que isola x sem raciocínio combinatório válido — um rearranjo sem sentido físico, apenas para confundir quem tenta "isolar x" sem entender a montagem.

B) x² – x = 380

✅ Correta: é exatamente o resultado de 2 × C(x,2) = x² − x, igualado ao total de partidas informado. Representa fielmente a lógica de turno e returno aplicada à contagem combinatória de confrontos.

C) x² = 380

❌ Incorreta: "esquece" de subtrair o termo x, ou seja, ignora que cada time não joga contra si mesmo — equivaleria a supor que o número de jogos é x² (incluindo cada time "contra si próprio"), sem descontar a diagonal da matriz de confrontos.

D) 2x – x = 380

❌ Incorreta: colapsa para x = 380, um modelo linear que trata o total de jogos como proporcional apenas ao número de times, desconsiderando a natureza combinatória do "todos contra todos".

E) 2x = 380

❌ Incorreta: supõe que cada time joga um número fixo de 2 partidas totais, como se houvesse turno e returno contra um único adversário, quando na verdade cada time enfrenta todos os outros x−1 adversários, duas vezes cada.

🏆 Gabarito: B — a equação x² − x = 380 é a única que representa corretamente o dobro (turno e returno) da combinação C(x,2), refletindo o total real de confrontos entre x times jogando todos contra todos duas vezes.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: a letra B é a única alternativa que nasce de um raciocínio combinatório coerente: contar os pares de times com C(x,2) e dobrar esse valor por causa do turno e returno, resultando em x² − x, sem termos soltos ou frações.
• Padrão de cobrança: o ENEM recorrentemente usa contextos de campeonatos, torneios e "apertos de mão" para cobrar a fórmula de combinação C(n,2) = n(n−1)/2, muitas vezes disfarçada dentro de um enunciado de equação a ser montada, e não resolvida.
• Generalização: sempre que um problema disser "todos contra todos" (ou "todos apertam a mão de todos", "todos trocam presentes"), pense primeiro em C(n,2) = n(n−1)/2; se houver repetição (turno e returno, ou "trocam presentes duas vezes"), multiplique esse resultado pelo número de repetições.
• Dica de eliminação rápida: descarte de cara as equações lineares em x (como 2x = 380 ou 2x − x = 380) — problemas de "todos contra todos" nunca são lineares, pois o número de confrontos cresce com o quadrado do número de participantes; isso já elimina D e E em segundos.
• Conexões: esse mesmo padrão aparece em problemas de número de diagonais de um polígono, número de apertos de mão em uma reunião e número de segmentos entre pontos de uma figura — todos recaem em variações de C(n,2).