Questão 149 — ENEM 2021 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Probabilidade condicional (Teorema de Bayes) e Probabilidade Total
• ⚡ Nível: Difícil — exige combinar a Regra da Probabilidade Total com o Teorema de Bayes envolvendo três eventos simultâneos, "invertendo" uma condicional conhecida.
• 🎯 Tema/Habilidade: Cálculo de probabilidade condicional a partir de dados de produção e defeito de múltiplas máquinas (Competência de Área 7 do ENEM — noções de probabilidade aplicadas a situações reais de controle de qualidade).
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Sorteando ao acaso uma peça defeituosa dentre todas as produzidas pela linha, qual é a probabilidade de que ela tenha saído da máquina M₂?"
• Palavras-chave decisivas: peça defeituosa, percentual de produção de cada máquina, percentual de defeito de cada máquina
• Armadilha típica: confundir P(M₂) — a fatia de 30% que M₂ representa na produção total — com P(M₂ | defeituosa), que é a fatia de M₂ dentro do grupo já filtrado das peças com defeito. Outro erro comum é parar no produto 0,30×0,03 = 0,9% e marcá-lo diretamente, esquecendo de dividir pelo total de defeitos da linha.
• O que a resposta precisa demonstrar: domínio do Teorema de Bayes, isto é, a capacidade de inverter a condicional (de "defeito dado a máquina" para "máquina dado o defeito").

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Probabilidade condicional: P(A|B) mede a chance de A ocorrer sabendo que B já aconteceu. Aqui o alvo é P(M₂ | defeituosa).
• Regra da probabilidade total: quando um evento (peça defeituosa) pode acontecer por caminhos disjuntos — vir de M₁, M₂ ou M₃ —, sua probabilidade total é a soma das probabilidades de cada caminho: P(def) = ΣP(Mᵢ)×P(def|Mᵢ).
• Teorema de Bayes: permite inverter a condicional: P(Mᵢ|def) = [P(Mᵢ)×P(def|Mᵢ)] ÷ P(def). Ou seja, é a fração que a máquina i representa dentro do total de peças defeituosas.
• Regra do produto (eventos em sequência): como cada máquina opera de forma independente das demais, P(Mᵢ ∩ def) = P(Mᵢ)×P(def|Mᵢ).

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "M₁ produz 25%, M₂ produz 30% e M₃ produz 45%" → são as probabilidades a priori P(M₁), P(M₂), P(M₃), que somam 100% e formam uma partição do espaço amostral (toda peça vem de exatamente uma máquina).
• Evidência 2: "defeituosas... M₁ é 2%, M₂ é 3%, M₃ é 4%" → são as probabilidades condicionais P(def|M₁), P(def|M₂), P(def|M₃), ou seja, a taxa de falha própria de cada linha.
• Síntese: o enunciado descreve uma árvore de probabilidades de dois níveis (máquina → defeito). Responder "qual a chance de ter vindo de M₂, dado que a peça é defeituosa" exige montar essa árvore por completo, somar as probabilidades conjuntas para achar P(defeituosa) e, depois, isolar apenas o ramo de M₂ — exatamente a estrutura do Teorema de Bayes.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Probabilidades conjuntas (máquina ∩ defeito)

Multiplica-se a fração de produção de cada máquina pela sua taxa de defeito:

P(M₁∩def) = 0,25 × 0,02 = 0,0050 (0,50% de toda a produção)

P(M₂∩def) = 0,30 × 0,03 = 0,0090 (0,90% de toda a produção)

P(M₃∩def) = 0,45 × 0,04 = 0,0180 (1,80% de toda a produção)

Subpasso 4.2 — Probabilidade total de peça defeituosa

P(def) = 0,0050 + 0,0090 + 0,0180 = 0,0320

Ou seja, 3,2% de tudo o que a linha produz sai com defeito, somando as três máquinas.

Subpasso 4.3 — Aplicação do Teorema de Bayes

P(M₂ | def) = P(M₂∩def) ÷ P(def) = 0,0090 ÷ 0,0320 = 0,28125 ≈ 28,1%

Subpasso 4.4 — Verificação

As três frações condicionais devem somar 100% do universo "defeituosa", pois M₁, M₂ e M₃ esgotam todas as origens possíveis:

P(M₁|def) + P(M₂|def) + P(M₃|def) = (0,0050+0,0090+0,0180) ÷ 0,0320 = 0,0320 ÷ 0,0320 = 1 ✓

A soma bate em 100%, confirmando que a árvore foi montada corretamente e que 28,1% é o valor coerente para M₂, compatível com a alternativa B.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 15,6%

❌ Incorreta: é o valor de P(M₁ | defeituosa) = 0,0050 ÷ 0,0320 ≈ 15,6%. Erro típico de quem monta a razão certa, mas usa o numerador da máquina errada (M₁ em vez de M₂).

B) 28,1%

✅ Correta: é exatamente P(M₂ | defeituosa) = 0,0090 ÷ 0,0320 ≈ 28,1%, obtido pelo Teorema de Bayes ao dividir a probabilidade conjunta de "M₂ e defeituosa" pela probabilidade total de defeito.

C) 43,7%

❌ Incorreta: corresponde a P(M₁ ou M₂ | defeituosa) = (0,0050+0,0090) ÷ 0,0320 ≈ 43,7%. É o erro de quem interpreta a pergunta como "não veio de M₃" e soma indevidamente dois ramos em vez de isolar apenas M₂.

D) 56,2%

❌ Incorreta: é P(M₃ | defeituosa) = 0,0180 ÷ 0,0320 ≈ 56,2%. Armadilha para quem identifica corretamente que M₃ é a maior fonte de defeitos da linha, mas responde à pergunta errada (a questão pede M₂, não M₃).

E) 71,8%

❌ Incorreta: é P(M₁ ou M₃ | defeituosa) = (0,0050+0,0180) ÷ 0,0320 ≈ 71,8%, o complementar exato de B. Quem chega nesse valor calculou "a probabilidade de a peça NÃO ter vindo de M₂", invertendo o sentido da pergunta.

🏆 Gabarito: B — Dentre as peças defeituosas da linha, 28,1% são provenientes da máquina M₂, valor obtido dividindo a probabilidade conjunta P(M₂∩defeituosa) = 0,90% pela probabilidade total de defeito da linha (3,2%).

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: apenas a alternativa B representa corretamente a fração que M₂ ocupa dentro do universo já filtrado das peças defeituosas; as demais trocam a máquina, somam ramos indevidamente ou calculam o complementar do que foi pedido.
• Padrão de cobrança: o ENEM cobra esse formato em contextos de controle de qualidade industrial, exames diagnósticos (testes de doença dado resultado positivo) e urnas/sorteios com múltiplas etapas — sempre pedindo para "inverter" uma condicional já dada no enunciado.
• Generalização: sempre que o enunciado fornecer "probabilidade de A" e "probabilidade de B dado A", e a pergunta pedir "probabilidade de A dado B", monte uma tabela com as probabilidades conjuntas de cada ramo, some todas para achar P(B) e divida o ramo de interesse por essa soma — isso é o Teorema de Bayes na prática.
• Dica de eliminação rápida: calcule primeiro os três produtos (fração de produção × taxa de defeito) — a soma deles é o denominador comum de todas as alternativas. Isso evita refazer contas e mostra de imediato que a resposta buscada é sempre "produto do ramo pedido ÷ soma total dos produtos".
• Conexões: testes de diagnóstico médico (sensibilidade e valor preditivo positivo) e problemas clássicos de urnas com duas etapas de sorteio usam exatamente essa mesma estrutura de probabilidade total seguida de Bayes.