Questão 162 — ENEM 2021 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Progressões Geométricas e Função Exponencial
• ⚡ Nível: Médio — exige transformar um gráfico com apenas três pontos conhecidos em uma lei de formação exponencial e usar propriedades de expoentes fracionários.
• 🎯 Tema/Habilidade: Reconhecimento e uso de padrões de crescimento exponencial a partir de dados gráficos (competência de leitura e interpretação de gráficos aplicada a modelos matemáticos).
• 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Dado um gráfico com a produção de janeiro, março e abril seguindo uma curva de crescimento exponencial, descubra o valor que falta (fevereiro)."
• Palavras-chave decisivas: cresceu exponencialmente, curva de tendência, produção de fevereiro
• Armadilha típica: tentar resolver por regra de três simples (crescimento linear/aritmético) somando ou tirando médias, em vez de trabalhar com razões e potências — isso leva a alternativas erradas como 300 (que seria a média aritmética entre 120 e 480).
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de montar a lei exponencial P(t) = P₀ · qᵗ a partir de dois valores conhecidos espaçados por dois meses e usar essa razão para encontrar o valor intermediário (fevereiro).

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Função exponencial: modelo do tipo f(x) = a · qˣ, em que a grandeza cresce (ou decresce) multiplicando-se pela mesma razão constante q a cada intervalo igual de tempo — diferente do crescimento linear, que soma sempre a mesma quantidade.
• Progressão geométrica (PG): sequência em que cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma razão fixa q. Meses consecutivos com produção em crescimento exponencial formam justamente uma PG.
• Propriedade dos termos intercalados de uma PG: se dois termos estão separados por n posições, a razão entre eles é qⁿ. Isso permite calcular q mesmo quando um termo intermediário está "faltando" — como ocorre aqui com fevereiro.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "não foi feito o levantamento sobre a produção no mês de fevereiro" → o gráfico e a tabela têm um "buraco" exatamente no segundo mês (fevereiro), que precisa ser reconstruído matematicamente, não lido diretamente.
• Evidência 2: "as informações dos outros três meses sugerem que a produção nesse quadrimestre cresceu exponencialmente" → jan., mar. e abr. pertencem à mesma curva exponencial; logo, esses três valores devem satisfazer P(t) = P₀ · qᵗ com a mesma razão q entre meses consecutivos.
• Síntese: com os valores lidos no gráfico — jan. = 120, mar. = 480, abr. = 960 (em milhar de unidades) — é possível encontrar a razão mensal q usando o salto de dois meses entre janeiro e março (ou verificando com março e abril) e, a partir dela, calcular fevereiro como o termo que fica exatamente entre jan. e mar. na progressão geométrica.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Organizar os dados do gráfico

Lendo o eixo vertical (produção em milhar de unidades) e o eixo horizontal (meses), tem-se:

• Janeiro (mês 1): P₁ = 120
• Fevereiro (mês 2): P₂ = ? (valor desconhecido, o que a questão pede)
• Março (mês 3): P₃ = 480
• Abril (mês 4): P₄ = 960

Como o crescimento é exponencial, esses valores formam uma progressão geométrica de razão q, ou seja, Pₙ = P₁ · qⁿ⁻¹.

Subpasso 4.2 — Encontrar a razão mensal q

Primeiro, é possível confirmar a consistência do modelo comparando março e abril, que são meses consecutivos:

q = P₄ / P₃ = 960 / 480 = 2

Agora confirma-se usando janeiro e março, que estão separados por dois meses (existe um mês — fevereiro — entre eles). Nesse caso, a razão entre os dois valores é q², e não q:

P₃ / P₁ = q² ⟹ 480 / 120 = q² ⟹ q² = 4 ⟹ q = √4 = 2

As duas contas batem (q = 2 nos dois casos), o que confirma que o crescimento realmente segue uma única razão exponencial constante ao longo do quadrimestre.

Subpasso 4.3 — Verificação: calcular fevereiro

Como fevereiro é o mês imediatamente seguinte a janeiro, basta multiplicar o valor de janeiro pela razão mensal q = 2:

P₂ = P₁ · q = 120 × 2 = 240

Confirmando pelo caminho inverso (de março para trás): P₂ = P₃ / q = 480 / 2 = 240. Os dois caminhos levam ao mesmo resultado, o que valida a resposta.

Portanto, a produção estimada em fevereiro foi de 240 mil unidades, o que corresponde exatamente à alternativa C.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 0.

❌ Incorreta: implicaria que a indústria não produziu nada em fevereiro, o que contradiz a própria ideia de crescimento contínuo (e positivo) descrita pela curva de tendência exponencial, que nunca toca o eixo x nesse tipo de modelo com razão q > 1.

B) 120.

❌ Incorreta: é o valor de janeiro, não o de fevereiro. Repetir esse número corresponderia a um crescimento nulo (razão q = 1) entre janeiro e fevereiro, o que descaracteriza um crescimento exponencial com razão constante 2, já confirmada pelos dados de março e abril.

C) 240.

✅ Correta: resulta diretamente de P₂ = P₁ · q = 120 × 2 = 240, com q = 2 obtido de forma consistente tanto pela razão mensal (abril/março) quanto pela razão bimestral (março/janeiro = q²).

D) 300.

❌ Incorreta: é a média aritmética simples entre janeiro (120) e março (480) — ou seja, (120 + 480) / 2 = 300. Esse valor seria correto apenas em um crescimento linear (aritmético), não exponencial. É a armadilha central da questão, pensada para quem ignora a natureza exponencial informada no enunciado.

E) 400.

❌ Incorreta: não corresponde a nenhuma operação coerente com a razão q = 2 encontrada; se fosse testado como P₂ = 480/1,2 ou outra tentativa arbitrária, não haveria como reconciliar esse valor com a verificação cruzada entre os meses de março e abril, que exige exatamente razão 2.

🏆 Gabarito: C — a produção de fevereiro, obtida ao aplicar a razão exponencial q = 2 (validada tanto entre março–abril quanto entre janeiro–março) sobre o valor de janeiro, é 120 × 2 = 240 mil unidades.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: a letra C é a única compatível com um crescimento de razão constante q = 2 que explica simultaneamente os três pontos conhecidos do gráfico (jan. = 120, mar. = 480, abr. = 960); qualquer outro valor quebra essa consistência.
• Padrão de cobrança: o ENEM costuma apresentar gráficos ou tabelas com uma "lacuna" de dado e pedir que o estudante reconstrua o valor faltante usando a lei de formação (PG para exponencial, PA para linear) — sempre há uma pista explícita no enunciado (aqui, "cresceu exponencialmente") indicando qual modelo usar.
• Generalização: em qualquer sequência de crescimento exponencial (PG), se dois termos estão separados por n posições, a razão entre eles vale qⁿ; assim, é possível achar q mesmo sem conhecer todos os termos intermediários, bastando resolver qⁿ = (termo maior)/(termo menor).
• Dica de eliminação rápida: ao ver "crescimento exponencial" no enunciado, descarte imediatamente qualquer alternativa que pareça média aritmética dos valores vizinhos (aqui, 300) — esse é o erro-armadilha clássico de confundir PA com PG. Também descarte 0, pois um modelo exponencial com razão positiva nunca produz valor nulo.
• Conexões: função exponencial e logarítmica; progressões geométricas; problemas de meia-vida e juros compostos, que seguem exatamente a mesma lógica de razão constante entre intervalos iguais de tempo.