Questão 136 — ENEM 2021 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Espacial (projeção ortogonal de figuras sobre um plano)
• ⚡ Nível: Difícil — exige visualizar em 3D um prisma, localizar pontos auxiliares em arestas ocultas e rastrear, sem se perder, uma trajetória de 9 pontos com repetições.
• 🎯 Tema/Habilidade: Projeção ortogonal de um percurso poligonal sobre a base de um prisma reto (competência de leitura e representação de figuras espaciais — H16/H17 da matriz do ENEM).
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Um inseto anda sobre a superfície de um prisma ABCDEFGH, passando pelos pontos A-X-Y-G-F-E-X-G-E; qual figura plana representa a sombra (projeção ortogonal) desse trajeto quando 'achatada' verticalmente sobre a base ABCD?"
• Palavras-chave decisivas: projeção ortogonal, trajetória poligonal, plano da base
• Armadilha típica: tratar o trajeto como se cada trecho gerasse automaticamente um lado novo do desenho, esquecendo que vários trechos caem exatamente em cima de outros já traçados (retrocessos) e que um ponto pode "sumir" da base se estiver numa aresta que projeta sempre no mesmo vértice.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de projetar individualmente cada um dos 9 pontos do trajeto e depois identificar o conjunto de segmentos realmente distintos que aparecem no plano da base.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Prisma reto de base retangular: as arestas laterais são perpendiculares ao plano da base — por isso qualquer ponto de uma aresta lateral se projeta exatamente no vértice da base de onde ela "nasce".
• Projeção ortogonal sobre um plano: "achata" cada ponto na direção perpendicular ao plano, descartando a altura. Pontos na mesma vertical caem no mesmo lugar depois de projetados.
• Correspondência de vértices: pela figura, o topo EFGH está exatamente acima da base ABCD, aresta por aresta: E sobre A, F sobre B, G sobre C e H sobre D.
• Pontos auxiliares em arestas ocultas: X está sobre a aresta lateral BF (tracejada) e Y está sobre a aresta lateral CG — logo X projeta sempre em B e Y sempre em C, qualquer que seja a altura em que foram marcados.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "prisma reto ABCDEFGH, com base retangular" → confirma que as arestas laterais são perpendiculares à base, condição necessária para que "projetar" seja simplesmente "descer na vertical até o vértice de baixo".
• Evidência 2 (da figura): X está alinhado verticalmente entre F (topo) e B (base), sobre a aresta oculta BF; Y está alinhado verticalmente entre G (topo) e C (base), sobre a aresta CG.
• Evidência 3: a trajetória repete pontos ("X", "G" e "E" aparecem duas vezes cada) → sinal de que o desenho final não terá 8 segmentos diferentes: vários trechos serão percorridos "de volta" e coincidirão no papel.
• Síntese: o caminho é projetar cada ponto de A-X-Y-G-F-E-X-G-E usando a correspondência vertical (E→A, F→B, G→C, X→B, Y→C) e depois marcar, na base, apenas os segmentos que efetivamente aparecem.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Projetar cada um dos 9 pontos do trajeto

Usando a correspondência vertical mostrada na figura (E→A, F→B, G→C, H→D, X→B, Y→C), a sequência A-X-Y-G-F-E-X-G-E se transforma, ponto a ponto, em:

A → A

X → B

Y → C

G → C

F → B

E → A

X → B

G → C

E → A

Ou seja, no plano da base, o "inseto projetado" percorre: A → B → C → C → B → A → B → C → A.

Subpasso 4.2 — Identificar quais segmentos realmente aparecem no desenho

Agora percorremos essa sequência de 8 trechos e marcamos apenas os segmentos com comprimento (ignorando o trecho C→C, que é um "pulo no lugar", pois Y e G projetam no mesmo ponto C):

1. A→B (novo: lado AB)
2. B→C (novo: lado BC)
3. C→C (sem deslocamento — Y e G projetam no mesmo ponto C)
4. C→B (repete BC)
5. B→A (repete AB)
6. A→B (repete AB)
7. B→C (repete BC)
8. C→A (novo: fecha a figura com o lado CA, a diagonal do retângulo!)

Note que o segmento CD e o segmento DA nunca aparecem — o vértice D nunca é tocado pela projeção, pois nenhum ponto do trajeto está em uma aresta lateral que "nasça" em D (a única que serviria, HD, jamais é visitada, já que H não está na lista de vértices do percurso).

Subpasso 4.3 — Verificação

O conjunto de segmentos distintos e não nulos obtidos é exatamente {AB, BC, CA}. Como ABCD é um retângulo, o ângulo em B (entre os lados AB e BC) é reto, e CA é a diagonal do retângulo unindo A e C. Logo, a figura formada é um triângulo retângulo ABC, com o ângulo reto em B e hipotenusa AC — figura fechada, com três lados, sem envolver o quarto vértice D. Essa descrição bate ponto a ponto com a alternativa D.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) Retângulo ABCD com diagonal AC

❌ Incorreta: inclui os lados CD e DA, que exigiriam que o trajeto projetado passasse pelo vértice D — o que nunca acontece, pois nenhum ponto do percurso (A, X, Y, G, F, E) está sobre uma aresta lateral que desça até D.

B) Retângulo ABCD com diagonal BD estendida

❌ Incorreta: comete o mesmo erro de incluir D (usando o retângulo completo) e ainda erra a diagonal — a diagonal realmente formada liga A a C (surge no último trecho, quando G→E projeta C→A), e não B a D.

C) Retângulo ABCD sem diagonal

❌ Incorreta: novamente insere os lados que dependem de D (que não existem na projeção) e, ao mesmo tempo, omite a diagonal AC, que de fato aparece no oitavo e último trecho do trajeto projetado.

D) Triângulo retângulo ABC

✅ Correta: reproduz exatamente os três segmentos obtidos na projeção — AB, BC e a diagonal CA —, formando um triângulo fechado com ângulo reto em B, sem qualquer menção ao vértice D.

E) Segmento de reta BC com extremidade em A, sem fechar figura

❌ Incorreta: capta apenas parte do resultado (os lados AB e BC de fato aparecem), mas ignora que o trajeto se fecha: o oitavo trecho da projeção (C→A, vindo de G→E) cria o lado que falta, transformando o que seria uma linha aberta em forma de "V" em um triângulo fechado.

🏆 Gabarito: D — a projeção ortogonal do trajeto A-X-Y-G-F-E-X-G-E sobre a base do prisma reproduz exatamente os lados AB, BC e a diagonal CA, formando o triângulo retângulo ABC, sem tocar o vértice D.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a alternativa D reúne os três ingredientes corretos — os lados AB e BC (traçados várias vezes) e a diagonal CA (que fecha a figura no último trecho) — sem incluir o vértice D, jamais visitado pelo trajeto.
• Padrão de cobrança: o ENEM usa esse formato para testar projeção ortogonal em sólidos (prismas, pirâmides, cubos), pedindo para "achatar" um caminho 3D sobre uma face e reconhecer a figura plana resultante — um clássico de geometria espacial nas provas PPL e regulares.
• Generalização: em qualquer prisma reto, um ponto sobre uma aresta lateral sempre projeta no vértice da base de onde aquela aresta parte, não importa a altura. Basta listar as projeções de cada ponto do trajeto e marcar só os segmentos novos.
• Dica de eliminação rápida: identifique primeiro quais vértices da base NUNCA aparecem entre as projeções (aqui, D) — isso elimina qualquer alternativa com o retângulo completo. Depois, veja se o trajeto fecha ou fica aberto — aqui ele fecha, eliminando a alternativa do segmento incompleto.
• Conexões: planificação de sólidos e vistas ortográficas (frontal, lateral, superior) são temas irmãos, pois exigem "reduzir" informação tridimensional a uma representação plana.