Questão 154 — ENEM 2021 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Plana (relação lado-ângulo em triângulos, semelhança de triângulos e base média)
• ⚡ Nível: Difícil — exige traduzir uma dobradura física em uma condição geométrica precisa (distância igual dos dois lados da dobra), algo pouco treinado no ensino médio
• 🎯 Tema/Habilidade: Semelhança de triângulos e teorema da base média aplicados a um problema de modelagem (dobradura de placa metálica) — competência de traduzir uma situação real em linguagem geométrica
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Descubra a razão exata da dobra DE que leva o vértice B a cair sobre AC e some DB + BE + EC."
• Palavras-chave decisivas: ângulo ACB é menor que CAB e este é menor que ABC, DE paralelo a AC, vértice B ficou sobre o segmento AC
• Armadilha típica: atribuir os comprimentos 18, 14 e 12 aos lados AB, BC e AC "na ordem em que aparecem no texto", sem antes decidir corretamente qual lado é qual usando a relação lado-ângulo. Cada permutação errada gera exatamente uma das alternativas erradas.
• O que a resposta precisa demonstrar: identificar corretamente AB, BC e AC pela desigualdade de ângulos e, em seguida, perceber que a dobra que leva B exatamente sobre AC só é possível quando DE é a base média do triângulo (razão 1/2).

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Relação lado-ângulo: em qualquer triângulo, a maior lado sempre se opõe ao maior ângulo, e o menor lado ao menor ângulo. É a "lei dos ângulos e lados", consequência da Lei dos Senos.
• Semelhança de triângulos (caso AA): se um segmento é paralelo a um dos lados do triângulo e corta os outros dois, o triângulo menor formado é semelhante ao triângulo original, pois compartilha um vértice e dois ângulos correspondentes iguais (ângulos formados por retas paralelas cortadas por transversais).
• Base média do triângulo: caso particular da semelhança acima, quando o segmento une os pontos médios de dois lados. Nesse caso a razão de semelhança é exatamente 1/2 e o segmento mede metade do lado paralelo a ele.
• Dobradura = reflexão: dobrar uma figura ao longo de uma reta é refletir os pontos em torno dela; a distância de qualquer ponto até a reta de dobra é preservada na reflexão.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "o ângulo ACB é menor que o ângulo CAB e este é menor que o ângulo ABC" → define, sem ambiguidade, qual lado é AB, qual é BC e qual é AC, pois cada lado se opõe a um desses ângulos.
• Evidência 2: "o segmento DE ficou paralelo ao lado AC" → garante que o triângulo DBE é semelhante ao triângulo ABC (mesmo vértice B, mesma abertura angular).
• Evidência 3: "o vértice B ficou sobre o segmento AC" → é a condição extra que fixa exatamente o valor da razão de semelhança; sem ela, DE poderia estar em qualquer altura.
• Síntese: primeiro descubro quem é AB, BC e AC comparando com os ângulos; depois traduzo "B cai exatamente sobre AC ao dobrar" em uma equação sobre a posição de DE, o que revela que D e E são pontos médios.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Identificar os lados AB, BC e AC

Como ângulo ACB < ângulo CAB < ângulo ABC, e a cada ângulo se opõe um lado (ao ângulo em C opõe-se AB; ao ângulo em A opõe-se BC; ao ângulo em B opõe-se AC), a relação lado-ângulo garante:

AB < BC < AC.

Dos valores disponíveis {12, 14, 18}, a única atribuição compatível é:

AB = 12 cm, BC = 14 cm, AC = 18 cm.

Subpasso 4.2 — Traduzir a dobra em uma condição de distância

Como DE ∥ AC, o triângulo DBE é semelhante a ABC, com D em AB e E em BC, ambos à mesma "distância proporcional" m de B: DB = m·AB e BE = m·BC. Dobrar a peça ao longo de DE significa refletir o triângulo DBE em torno da reta DE — o vértice B vai para um ponto B′ que fica à mesma distância perpendicular de DE que B, só que do lado oposto.

Chamando de h a altura de B até AC, a semelhança de razão m implica que a distância de B até a reta DE é m·h, e que a distância de DE até AC é (1 − m)·h. Para que B′ caia exatamente sobre AC, a distância percorrida na reflexão (m·h) precisa fechar exatamente o espaço até a base, isto é:

m·h = (1 − m)·h ⟹ m = 1 − m ⟹ 2m = 1 ⟹ m = 1/2.

Ou seja: DE só pode ser a base média do triângulo — D é ponto médio de AB e E é ponto médio de BC. É o único jeito de a dobra "encaixar" perfeitamente em AC.

Subpasso 4.3 — Calcular DB, BE e EC e verificar

DB = AB × 1/2 = 12 × 1/2 = 6 cm

BE = BC × 1/2 = 14 × 1/2 = 7 cm

EC = BC − BE = 14 − 7 = 7 cm (equivalente a dizer que EC = BE, já que E é ponto médio de BC)

Soma = DB + BE + EC = 6 + 7 + 7 = 20 cm.

Verificação por atalho: como BE = EC = BC/2, a soma BE + EC reconstrói o lado inteiro BC. Logo Soma = AB/2 + BC = 12/2 + 14 = 6 + 14 = 20 cm — confirma o resultado por um caminho independente, batendo com a alternativa B.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

Usando a fórmula-atalho Soma = AB/2 + BC, cada alternativa corresponde a uma permutação diferente (certa ou errada) dos valores 12, 14 e 18 entre AB, BC e AC — o que evidencia exatamente onde mora cada erro conceitual.

A) 19

❌ Incorreta: surge ao trocar AB com BC (AB = 14, BC = 12, AC = 18), invertendo qual dos dois menores lados se opõe ao ângulo em C e qual se opõe ao ângulo em A. Soma = 14/2 + 12 = 19.

B) 20

✅ Correta: único resultado da atribuição válida AB = 12, BC = 14, AC = 18 (respeitando ACB < CAB < ABC) com razão de dobra m = 1/2 (base média). Soma = 12/2 + 14 = 20.

C) 21

❌ Incorreta: surge ao trocar AB com AC (AB = 18, BC = 12, AC = 14), o que coloca o maior lado oposto ao menor ângulo — viola a relação lado-ângulo. Soma = 18/2 + 12 = 21.

D) 23

❌ Incorreta: é o resultado de copiar "18, 14, 12" direto do enunciado como AB, BC, AC, ignorando por completo a informação dos ângulos. Soma = 18/2 + 14 = 23. É a armadilha mais tentadora da questão.

E) 24

❌ Incorreta: surge ao trocar BC com AC (BC = 18, AC = 14, AB = 12), invertendo qual é o maior lado do triângulo. Soma = 12/2 + 18 = 24.

🏆 Gabarito: B — a única atribuição de lados compatível com ACB < CAB < ABC (AB = 12, BC = 14, AC = 18) combinada com a condição geométrica da dobra (DE é base média, razão 1/2) fornece DB + BE + EC = 6 + 7 + 7 = 20 cm.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: qualquer outra atribuição de 12, 14 e 18 aos lados AB, BC e AC descumpre a relação lado-ângulo dada no enunciado; só B = 20 respeita simultaneamente essa relação e a geometria da dobra.
• Padrão de cobrança: o ENEM gosta de embutir semelhança de triângulos em contextos de "dobradura" ou "recorte industrial", exigindo que o aluno converta uma ação física (dobrar, cortar) em uma condição algébrica sobre razões de segmentos.
• Generalização: sempre que um vértice de um triângulo for dobrado sobre o lado oposto por uma reta paralela a esse lado, a reta de dobra é necessariamente a base média (razão 1/2) — porque só a meia-distância entre o vértice e a base garante que a reflexão "alcance" exatamente a base.
• Dica de eliminação rápida: calcule primeiro Soma = AB/2 + BC com a atribuição correta dos lados (usando a relação lado-ângulo); se dois lados forem trocados por engano, o resultado bate exatamente com uma das alternativas erradas — por isso é fundamental fixar AB, BC e AC com cuidado antes de qualquer conta.
• Conexões: teorema de Tales, base média de triângulos, relação lado-ângulo (lei dos senos qualitativa), problemas de dobradura e simetria por reflexão.