Questão 142 — ENEM 2021 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Funções afins aplicadas a tarifas em degrau (leitura de tabelas e otimização de custo)
• ⚡ Nível: Médio — não exige fórmulas avançadas, mas obriga a montar e comparar cinco expressões de custo com cuidado nos limites de cada franquia.
• 🎯 Tema/Habilidade: Comparação de planos tarifários por meio de função afim por partes; competência de resolver situações-problema envolvendo grandezas diretamente proporcionais e custo fixo + custo variável.
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Para um cliente que fala 75 minutos por mês com colegas da mesma operadora e 50 minutos com colegas de outras operadoras, qual dos cinco planos gera a menor conta final?"
• Palavras-chave decisivas: excede M minutos, tarifa T1 por minuto excedente, independentemente de os M minutos terem ou não sido usados (para T2)
• Armadilha típica: aplicar T1 mesmo quando o consumo intra-operadora não ultrapassa a franquia M, ou esquecer que T2 incide sobre todos os minutos de outras operadoras — não apenas sobre um "excedente", já que não existe franquia para esse tipo de ligação.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de montar, para cada plano, a expressão de custo total C = V + T1 × (excedente intra-operadora) + T2 × (minutos para outras operadoras) e comparar os cinco resultados numéricos.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Função afim por partes ("tarifa em degrau"): o custo permanece constante e igual a V enquanto o consumo intra-operadora não ultrapassa M; depois disso cresce linearmente com coeficiente angular T1 — mesmo modelo de contas de água, luz e planos de dados.
• Custo marginal (tarifa por minuto): T1 e T2 são os "preços por unidade extra"; quanto menor a tarifa marginal, mais vantajoso o plano para quem consome acima da franquia ou liga muito para outras operadoras.
• Trade-off fixo × variável: planos com V mais alto costumam ter M maior e tarifas menores. Não existe "plano melhor" em absoluto — a escolha ótima depende do perfil de consumo, por isso a questão fixa um cenário de uso específico.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "paga um valor V que lhe dá direito a telefonar por M minutos para clientes da mesma operadora" → até M minutos intra-operadora, o custo já está embutido em V, sem cobrança extra.
• Evidência 2: "quando a duração total das chamadas... excede M minutos, é cobrada uma tarifa T1 por cada minuto excedente" → T1 só entra na conta pelos minutos que ultrapassarem M; se o uso for ≤ M, essa parcela é zero.
• Evidência 3 (consumo do cliente): o cliente planeja usar 75 minutos para a mesma operadora e 50 minutos para outras operadoras — cenário fixo a ser testado nos cinco planos.
• Síntese: para cada plano, basta calcular quantos dos 75 minutos ultrapassam M (gerando T1) e multiplicar os 50 minutos integrais por T2, somando tudo a V. O plano de menor soma vence.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Organizar os dados da tabela e montar a fórmula geral

Da figura do enunciado (V = mensalidade, M = franquia intra-operadora, T1 = tarifa por minuto excedente intra, T2 = tarifa por minuto interoperadora):

Plano A: V=R$25,00, M=20min, T1=R$1,50/min, T2=R$2,00/min

Plano B: V=R$60,00, M=65min, T1=R$1,00/min, T2=R$1,20/min

Plano C: V=R$60,00, M=75min, T1=R$1,00/min, T2=R$1,50/min

Plano D: V=R$120,00, M=160min, T1=R$0,80/min, T2=R$0,90/min

Plano E: V=R$120,00, M=180min, T1=R$0,80/min, T2=R$1,20/min

Fórmula geral do custo mensal para o cenário de uso (75 min intra + 50 min inter):

C = V + T1 × máx(0, 75 − M) + T2 × 50

Subpasso 4.2 — Calcular o custo total de cada plano

Plano A: excedente intra = 75 − 20 = 55 min

C(A) = 25,00 + 1,50 × 55 + 2,00 × 50 = 25,00 + 82,50 + 100,00 = R$ 207,50

Plano B: excedente intra = 75 − 65 = 10 min

C(B) = 60,00 + 1,00 × 10 + 1,20 × 50 = 60,00 + 10,00 + 60,00 = R$ 130,00

Plano C: excedente intra = 75 − 75 = 0 min (consumo é exatamente igual à franquia, sem excedente)

C(C) = 60,00 + 1,00 × 0 + 1,50 × 50 = 60,00 + 0 + 75,00 = R$ 135,00

Plano D: excedente intra = máx(0, 75 − 160) = 0 min

C(D) = 120,00 + 0,80 × 0 + 0,90 × 50 = 120,00 + 0 + 45,00 = R$ 165,00

Plano E: excedente intra = máx(0, 75 − 180) = 0 min

C(E) = 120,00 + 0,80 × 0 + 1,20 × 50 = 120,00 + 0 + 60,00 = R$ 180,00

Subpasso 4.3 — Verificação e comparação final

Custos totais lado a lado:

A = R$ 207,50 ≥ E = R$ 180,00 ≥ D = R$ 165,00 ≥ C = R$ 135,00 ≥ B = R$ 130,00

O menor valor entre os cinco é R$ 130,00, correspondente ao Plano B. Note que o Plano C, apesar de eliminar totalmente a tarifa T1 (franquia igual ao consumo), perde para o Plano B porque sua tarifa T2 é 25% mais cara (R$ 1,50 contra R$ 1,20 por minuto), e isso pesa sobre os 50 minutos de ligações para outras operadoras.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) Plano A.

❌ Incorreta: a franquia de apenas 20 minutos é insuficiente para os 75 minutos consumidos, fazendo com que 55 minutos sejam cobrados à tarifa mais alta da tabela (T1 = R$ 1,50/min, gerando R$ 82,50 extra); além disso, T2 = R$ 2,00/min é a mais cara entre os cinco planos. O resultado, R$ 207,50, é de longe o pior custo — o Plano A é ideal apenas para quem consome muito pouco.

B) Plano B.

✅ Correta: com M = 65 min, apenas 10 dos 75 minutos intra-operadora excedem a franquia (custo extra de R$ 10,00), e a tarifa T2 = R$ 1,20/min é a segunda mais baixa da tabela. Essa combinação de valor fixo moderado, pouco excedente e tarifa interoperadora competitiva resulta no menor custo total, R$ 130,00.

C) Plano C.

❌ Incorreta: embora a franquia (M = 75 min) elimine completamente a cobrança de T1 — o consumo bate exatamente no limite —, a tarifa T2 = R$ 1,50/min é mais cara que a do Plano B, tornando o custo total R$ 135,00, ou seja, R$ 5,00 acima do plano ótimo.

D) Plano D.

❌ Incorreta: a franquia grande (160 min) e a tarifa T1 baixa (R$ 0,80/min) zeram o custo variável intra-operadora, e mesmo T2 = R$ 0,90/min é competitivo, mas o valor fixo V = R$ 120,00 é alto demais para o perfil de consumo dado, elevando o total a R$ 165,00. Esse plano só se tornaria vantajoso para consumos muito superiores a 75 minutos intra-operadora.

E) Plano E.

❌ Incorreta: mesma lógica do Plano D — franquia ampla (180 min) zera T1, mas o valor fixo V = R$ 120,00 somado a T2 = R$ 1,20/min resulta em R$ 180,00, o segundo pior custo entre os cinco planos para esse padrão de uso.

🏆 Gabarito: B — o Plano B é o único que equilibra valor fixo moderado, pouco excedente cobrado por T1 e a segunda menor tarifa T2 da tabela, resultando no menor custo total (R$ 130,00) para o consumo de 75 minutos intra-operadora e 50 minutos interoperadora.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só o Plano B equilibra franquia suficiente (10 min de excedente) e tarifa T2 baixa; D e E carregam valor fixo alto demais para esse consumo, e C perde por ter T2 mais caro — B é matematicamente o único mínimo.
• Padrão de cobrança: o ENEM cobra com frequência "escolha do plano/tarifa mais vantajosa" (celular, água, luz, internet, transporte), sempre pedindo para montar e comparar expressões de custo (função afim) para um cenário fixo de consumo.
• Generalização: diante de qualquer tabela com franquia (V, M) e tarifas marginais (T1, T2, ...), o procedimento é: (1) verificar se o consumo ultrapassa cada franquia; (2) somar V + tarifa × excedente de cada componente; (3) comparar os totais — aritmética pura, mas exige organização.
• Dica de eliminação rápida: calcule primeiro o excedente intra-operadora — planos com M muito menor que o consumo (Plano A) saem rápido por acumular multa alta; planos com V muito elevado (D e E) só compensam em consumos bem maiores. Isso já corta 3 das 5 alternativas antes da conta completa.
• Conexões: funções afins e coeficiente angular; tarifas em degrau (água, luz, telefonia); otimização por comparação de casos discretos.