Questão 143 — ENEM 2021 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Porcentagem aplicada a preço e demanda (arrecadação)
• ⚡ Nível: Difícil — exige encadear quatro grandezas (desconto, percentual, público, receita) sem trocar nenhum elo da corrente
• 🎯 Tema/Habilidade: Variação percentual proporcional (linear) combinada com cálculo de receita = preço × quantidade
• 🏆 Gabarito: A — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Calcule a nova arrecadação do cinema depois do desconto de R$ 8,00 no inteiro e R$ 4,00 na meia, compare com a arrecadação atual e classifique o aumento na tabela dada."
• Palavras-chave decisivas: "para cada", "em relação às quantidades iniciais", "duplicar... duplicarão"
• Armadilha típica: recalcular apenas o público (mais gente pagando) ou apenas o preço (desconto aplicado), esquecendo que os dois mudam ao mesmo tempo — e tratar o crescimento do público como se fosse composto (crescendo sobre o resultado anterior) em vez de linear (sempre referenciado ao público inicial).
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de montar a receita em dois cenários — antes e depois — mexendo simultaneamente em preço e quantidade, e depois localizar a diferença na escala de classificação do enunciado.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Porcentagem como multiplicador: um aumento de 20% sobre uma quantidade Q equivale a Q × 1,20. Esse é o operador que transforma "40 pessoas" em "40 pessoas mais 20%".
• Proporcionalidade direta (escala linear): o texto diz que a cada R$ 2,00/R$ 1,00 de desconto correspondem +20%/+10% de público, sempre medidos "em relação às quantidades iniciais" — ou seja, o efeito não se acumula sobre o resultado do passo anterior, ele soma múltiplos do mesmo percentual base. Dobrar o desconto dobra o percentual: é regra de três simples, não juros compostos.
• Receita = preço × quantidade: a arrecadação de cada categoria de ingresso (inteira e meia) precisa ser recalculada separadamente, porque preço e público mudam em taxas diferentes para cada categoria.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "para cada R$ 2,00 de desconto no preço inteiro [...] e R$ 1,00 [...] na meia-entrada, a quantidade [...] aumentava em 20% e [...] 10% em relação às quantidades iniciais" → estabelece a taxa de câmbio: 1 "unidade" de desconto (R$ 2 no inteiro, R$ 1 na meia) gera +20% no público de inteiras e +10% no de meias, e essa referência é sempre o público inicial (40 e 60), não o público do passo anterior.
• Evidência 2: "ao duplicar o valor dos descontos, duplicarão também os percentuais de aumento" → confirma que a relação é linear: 2 unidades de desconto (R$ 4/R$ 2) dobram o efeito para +40%/+20%; a hipótese do administrador apenas estende essa mesma regra proporcional para descontos maiores.
• Evidência 3: "desconto de R$ 8,00 no preço inteiro e de R$ 4,00 na meia-entrada" → R$ 8 = 4 × R$ 2 e R$ 4 = 4 × R$ 1: são exatamente 4 unidades de desconto em ambos os ingressos, então o percentual de aumento também deve ser multiplicado por 4.
• Síntese: juntando as três evidências, a promoção corresponde a n = 4 unidades de desconto, o que gera +4 × 20% = 80% no público de inteiras e +4 × 10% = 40% no público de meias — e, ao mesmo tempo, os preços caem para R$ 22,00 e R$ 11,00. É esse par simultâneo (preço menor, público maior) que precisa entrar na conta da nova receita.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Montando o cenário atual

Público atual: 100 pessoas, sendo 60 meia-entrada e 40 inteira.

Arrecadação atual = 40 × R$ 30,00 + 60 × R$ 15,00 = R$ 1 200,00 + R$ 900,00 = R$ 2 100,00.

Subpasso 4.2 — Aplicando os descontos e o novo público

Novo preço inteiro: 30 − 8 = R$ 22,00.

Novo preço meia: 15 − 4 = R$ 11,00.

Como R$ 8,00 equivale a 4 unidades de R$ 2,00, o público de inteiras cresce 4 × 20% = 80%:

Novo público inteira = 40 × 1,80 = 72 pessoas.

Como R$ 4,00 equivale a 4 unidades de R$ 1,00, o público de meia cresce 4 × 10% = 40%:

Novo público meia = 60 × 1,40 = 84 pessoas.

Subpasso 4.3 — Verificação, nova receita e classificação

Checagem de capacidade: 72 + 84 = 156 pessoas, dentro do limite de 180 lugares — a promoção é fisicamente viável, nenhum corte adicional é necessário.

Nova arrecadação = 72 × 22 + 84 × 11 = 1 584 + 924 = R$ 2 508,00.

Aumento na arrecadação = 2 508 − 2 100 = R$ 408,00.

Comparando com a escala do administrador: R$ 408,00 está no intervalo "até R$ 500,00" → classificação fraco.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) fraco.

✅ Correta: o aumento real de R$ 408,00, obtido recalculando corretamente preço e público das duas categorias de ingresso, está dentro do intervalo "até R$ 500,00" definido pelo próprio administrador.

B) regular.

❌ Incorreta: essa faixa (R$ 500,01 a R$ 800,00) é o que se obtém se o candidato esquece de aplicar o desconto de R$ 4,00 na meia-entrada — mantendo o preço em R$ 15,00 mas já contando os 84 pagantes. Nesse caso a conta erradamente dá 72 × 22 + 84 × 15 = R$ 2 844,00, um aumento de R$ 744,00. O erro conceitual é atualizar a quantidade de pessoas sem atualizar o preço correspondente.

C) bom.

❌ Incorreta: essa faixa (R$ 800,01 a R$ 1 200,00) aparece quando se esquece o desconto no ingresso inteiro, mantendo-o em R$ 30,00 apesar de já contar os 72 pagantes com aumento de 80%. A conta errada fica 72 × 30 + 84 × 11 = R$ 3 084,00, um aumento de R$ 984,00. É o mesmo tipo de erro do item B, só que na outra categoria de ingresso.

D) muito bom.

❌ Incorreta: essa faixa (R$ 1 200,01 a R$ 2 000,00) surge quando se recalcula corretamente o novo público (72 e 84), mas se esquece de aplicar qualquer um dos dois descontos, mantendo os preços originais de R$ 30,00 e R$ 15,00. A conta errada fica 72 × 30 + 84 × 15 = R$ 3 420,00, um aumento de R$ 1 320,00. O erro é achar que a promoção só atrai mais gente, sem lembrar que ela também reduz a receita por ingresso.

E) ótimo.

❌ Incorreta: essa faixa (acima de R$ 2 000,00) aparece quando se somam os dois percentuais de aumento de público (80% + 40% = 120%) e se aplica esse valor diretamente sobre a arrecadação original, como se fosse um único percentual de crescimento da receita: R$ 2 100,00 × 1,20 = R$ 2 520,00 de aumento. Esse raciocínio mistura indevidamente dois públicos com taxas diferentes em um só número e ignora que os preços também caíram — por isso superestima brutalmente o resultado.

🏆 Gabarito: A — o aumento real de arrecadação, calculado recalculando separadamente preço e público de cada tipo de ingresso, é de R$ 408,00, valor que se enquadra exatamente na faixa "fraco" (até R$ 500,00).

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a letra A é compatível com a receita corretamente recalculada (R$ 2 508,00 contra R$ 2 100,00 originais); qualquer outra faixa exige esquecer um desconto, trocar uma taxa de outra categoria ou somar indevidamente percentuais de bases diferentes.
• Padrão de cobrança: o ENEM adora esse formato de "regra de proporcionalidade descrita em texto, aplicada a um cenário novo" — o candidato precisa primeiro traduzir a frase em uma razão numérica (aqui, "por unidade de R$ 2/R$ 1 desconto, +20%/+10%") antes de fazer qualquer conta.
• Generalização: sempre que o problema envolver preço variável e quantidade variável ao mesmo tempo, escreva a receita como um produto (preço novo) × (quantidade nova) para cada grupo separadamente — nunca aplique um único percentual "médio" sobre o total.
• Dica de eliminação rápida: identifique quantas "unidades" de desconto o enunciado pede (aqui, R$ 8 ÷ R$ 2 = 4 e R$ 4 ÷ R$ 1 = 4) e multiplique os percentuais base por esse número antes de mexer em qualquer preço — isso já elimina de cara contas que misturam ou pulam desconto.
• Conexões: problemas de lucro/receita com desconto e demanda; regra de três composta; leitura de tabelas de classificação por faixas de valor.