Questão 160 — ENEM 2021 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Plana (áreas de figuras planas e círculo)
• ⚡ Nível: Difícil — exige combinar cálculo de área de 5 figuras diferentes com um raciocínio de empacotamento geométrico (encaixar 3 círculos sem sobrepor)
• 🎯 Tema/Habilidade: Cálculo e comparação de áreas de figuras planas associadas a uma condição de otimização (menor área que comporta um número fixo de círculos)
• 🏆 Gabarito: E — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Entre 5 formatos de suporte, qual tem a MENOR área que ainda consegue conter, inteiramente, as bases circulares de 3 recipientes de raio 3 cm sem que elas se sobreponham?"
• Palavras-chave decisivas: menor área, inteiramente sobre o suporte, raio igual a 3 cm
• Armadilha típica: escolher a figura de menor área "no olho" (III ou IV) sem verificar se ela sequer tem espaço físico para os 3 círculos, ou escolher a maior área (II) só porque "obviamente cabe", sem comparar com opções menores que também cabem.
• O que a resposta precisa demonstrar: primeiro, uma condição de existência (a figura precisa ter área suficiente e formato compatível para acomodar 3 círculos de raio 3 sem sobreposição); segundo, entre as figuras que atendem a essa condição, a escolha da que tem menor área.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Área de figuras planas: retângulo (base × altura), quadrado (lado²) e setor circular (fração do círculo, aqui um quadrante: π × R² / 4). É a ferramenta para comparar "espaço disponível" entre os suportes.
• Área do círculo: A = π × r². Cada base de recipiente ocupa π × 3² = 9π cm², e 3 recipientes juntos ocupam 3 × 9π = 27π cm².
• Condição necessária de empacotamento (packing): se três círculos não podem se sobrepor, a soma das áreas deles nunca pode ultrapassar a área do suporte que os contém. Se A(suporte) < área total dos círculos, é impossível encaixá-los — não importa o formato. Essa é uma ferramenta poderosa para eliminar opções rapidamente, sem precisar desenhar tentativa por tentativa.
• Condição geométrica (fit real): ter área suficiente é necessário, mas não é suficiente — é preciso também verificar se a forma permite distribuir os 3 centros dos círculos de modo que cada um fique a pelo menos 3 cm de qualquer borda do suporte (para o círculo inteiro caber dentro) e a pelo menos 6 cm um do outro (para dois círculos vizinhos não se sobreporem, já que 6 cm = soma dos dois raios).

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "recipiente de cada produto tem a forma de um cilindro circular reto de medida do raio igual a 3 cm" → a base de cada recipiente é um círculo de raio 3 cm (diâmetro 6 cm); são 3 recipientes ao todo, logo 3 círculos idênticos.
• Evidência 2: "a base de cada recipiente ficasse inteiramente sobre o suporte" → os três círculos precisam caber por completo, sem sair da borda do suporte e sem se sobrepor entre si (afinal são objetos físicos ocupando espaço lado a lado).
• Evidência 3: "comprar o suporte que tiver a base de menor área" → entre todos os suportes que efetivamente comportam os 3 recipientes, deve-se escolher o de menor área — é um problema de otimização com restrição.
• Síntese: o caminho é (1) calcular a área de cada uma das 5 figuras; (2) eliminar as que não têm capacidade física para 3 círculos de raio 3 (usando primeiro o teste de área total e depois o teste geométrico); (3) entre as sobreviventes, escolher a de menor área.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Calcular a área de cada suporte

Usando as medidas indicadas nas figuras (em cm) e π ≈ 3,14:

• Figura I (formato em "L" / trapézio): é um quadrilátero de vértices que formam um retângulo 6 × 9 (área 54 cm²) somado a um triângulo retângulo de catetos 6 e 9 (área = 6 × 9 ÷ 2 = 27 cm²).

Área I = 54 + 27 = 81 cm²

• Figura II (quadrado): lado 12 cm.

Área II = 12 × 12 = 144 cm²

• Figura III (quadrado): lado 6 cm.

Área III = 6 × 6 = 36 cm²

• Figura IV (retângulo): lados 9 cm e 3 cm.

Área IV = 9 × 3 = 27 cm²

• Figura V (quadrante de círculo, raio 13 cm): um quarto de círculo.

Área V = (π × 13²) ÷ 4 = (3,14 × 169) ÷ 4 = 530,66 ÷ 4 ≈ 132,665 cm²

Subpasso 4.2 — Aplicar o teste de área total dos 3 círculos

Área de cada base circular: A = π × r² = 3,14 × 3² = 3,14 × 9 = 28,26 cm².

Área total exigida por 3 bases, sem sobreposição: 3 × 28,26 = 84,78 cm².

Comparando com a área de cada suporte:

• I: 81 cm² < 84,78 cm² → impossível caber 3 círculos (a área do suporte é menor que a soma das áreas dos círculos, então nem haveria espaço físico, mesmo ignorando o formato).
• III: 36 cm² < 84,78 cm² → impossível.
• IV: 27 cm² < 84,78 cm² → impossível (e nem 1 círculo cabe, pois 27 < 28,26).
• II: 144 cm² > 84,78 cm² → passa no teste de área (candidata).
• V: 132,665 cm² > 84,78 cm² → passa no teste de área (candidata).

Restam apenas II e V como candidatas viáveis.

Subpasso 4.3 — Verificação geométrica e escolha da menor área

Para II (quadrado 12 × 12): como o lado mede exatamente 2 diâmetros (12 = 2 × 6), é trivial encaixar uma malha 2 × 2 de círculos de diâmetro 6 (4 círculos cabem confortavelmente); logo, 3 círculos cabem com folga.

Para V (quadrante de raio 13, com o ângulo reto no vértice comum às duas retas de 13 cm): posicionando os centros dos 3 círculos a pelo menos 3 cm de cada lado reto e a no máximo 13 − 3 = 10 cm do vértice do ângulo reto (para a borda do círculo não ultrapassar o arco), é possível distribuir os 3 centros — por exemplo, dois próximos a cada lado reto e um mais afastado, próximo à bissetriz — mantendo distância mínima de 6 cm entre eles. A folga entre a distância máxima permitida do vértice (10 cm) e o raio necessário (3 cm) é ampla o suficiente para esse arranjo funcionar, portanto os 3 recipientes cabem inteiramente dentro do quadrante V.

Como as duas figuras comportam os 3 recipientes, compara-se as áreas: 132,665 cm² (V) < 144 cm² (II). Logo, V é a menor área entre as que efetivamente atendem à condição do problema.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) I

❌ Incorreta: a área de I é 81 cm², menor que os 84,78 cm² necessários apenas para acomodar as 3 áreas circulares sem sobreposição — é matematicamente impossível caber os 3 recipientes nesse suporte, independentemente de como sejam arranjados.

B) II

❌ Incorreta: comporta os 3 recipientes com folga (permite até uma malha 2×2 de círculos), mas sua área (144 cm²) é maior que a de V (132,665 cm²), que também comporta os 3 recipientes. Como a proprietária quer a menor área possível entre as viáveis, II perde para V.

C) III

❌ Incorreta: o quadrado tem lado 6 cm, exatamente igual ao diâmetro de um único círculo — cabe apenas 1 recipiente inscrito, sem espaço algum para um segundo (área total de 36 cm² é bem menor que os 84,78 cm² necessários para 3 círculos).

D) IV

❌ Incorreta: o retângulo tem 3 cm de largura, menor até que o diâmetro de um único círculo (6 cm) — nem um recipiente cabe nessa base, quanto mais três. A área (27 cm²) também é inferior à área de um único círculo (28,26 cm²).

E) V

✅ Correta: entre todos os suportes capazes de acomodar os 3 recipientes de raio 3 cm sem sobreposição (apenas II e V passam nesse teste), V é o que tem a menor área — aproximadamente 132,665 cm², contra 144 cm² de II. É, portanto, o suporte que atende à decisão da proprietária.

🏆 Gabarito: E — o quadrante de raio 13 cm é o único suporte, entre os que efetivamente comportam os 3 recipientes de raio 3 cm sem sobreposição, que apresenta a menor área da base (≈ 132,665 cm² < 144 cm² de II).

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só II e V têm área suficiente e formato compatível para os 3 círculos; entre elas, V é a menor — por isso a resposta é E.
• Padrão de cobrança: o ENEM gosta de misturar cálculo direto de área (retângulo, quadrado, setor circular) com uma restrição de "encaixe" que exige pensar em geometria de posição, não só em fórmulas isoladas.
• Generalização: em problemas de otimização geométrica com restrição de encaixe, sempre comece com um teste rápido de área total (necessário, mas não suficiente) para eliminar candidatas impossíveis antes de gastar tempo verificando encaixe geométrico fino.
• Dica de eliminação rápida: calcule primeiro a área ocupada pelos objetos que precisam caber (aqui, 3 × π × 3² ≈ 84,78 cm²) e descarte de cara qualquer figura com área menor que esse valor — nesta questão isso já elimina I, III e IV em segundos.
• Conexões: áreas de figuras planas compostas (retângulo + triângulo), área de setor circular (quadrante), problemas de otimização com restrição geométrica.