Questão 139 — ENEM 2021 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Geometria Plana (comprimento da circunferência) e Grandezas Diretamente Proporcionais
• ⚡ Nível: Médio — exige combinar três etapas (geometria, proporcionalidade e conversão de unidades) sem que nenhuma delas seja isoladamente difícil
• 🎯 Tema/Habilidade: Modelagem matemática de um fenômeno físico (desgaste do pneu) usando circunferência e proporcionalidade direta — competência de traduzir uma situação-problema para uma expressão algébrica
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Monte a fórmula de D (desgaste) em função de x (km percorridos), L (diâmetro do pneu, em metros) e k (constante de proporcionalidade)."
• Palavras-chave decisivas: diretamente proporcional ao número de voltas, diâmetro L, viagem de x km
• Armadilha típica: esquecer de converter quilômetros em metros (ou converter errado, usando 500 em vez de 1000) e confundir diâmetro com raio na fórmula da circunferência.
• O que a resposta precisa demonstrar: que o candidato sabe escrever "número de voltas = distância percorrida ÷ comprimento de uma volta" e depois multiplicar esse número pela constante k, mantendo todas as unidades compatíveis (metros).

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Comprimento da circunferência: para uma circunferência de diâmetro L, o comprimento (perímetro) é C = π · L. É essa distância que o pneu percorre a cada volta completa sem derrapar.
• Grandezas diretamente proporcionais: se o desgaste D é diretamente proporcional ao número de voltas n, então D = k · n, em que k é a constante de proporcionalidade (depende do material do pneu).
• Conversão de unidades: o problema dá o diâmetro em metros (L) e a distância em quilômetros (x). Para que a divisão "distância ÷ comprimento da volta" resulte em um número puro (adimensional, contagem de voltas), as duas grandezas precisam estar na mesma unidade — por isso x km deve virar 1000·x metros.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "o desgaste do pneu em um trajeto é diretamente proporcional ao número de voltas que ele efetua em contato com o solo" → define a relação D = k · n, em que n é o número de voltas.
• Evidência 2: "diâmetro do pneu mede L m" e a figura mostra explicitamente a cota "L metro" sobre o pneu → confirma que L é o diâmetro (não o raio), grandeza que entra diretamente na fórmula do comprimento da circunferência, C = π · L.
• Evidência 3: "viagem de x km" → a distância total percorrida está em quilômetros e precisa ser convertida para metros antes de dividir pelo comprimento da circunferência (que está em metros).
• Síntese: o caminho é: (1) achar o comprimento de uma volta (π·L); (2) achar a distância total em metros (1000x); (3) dividir para obter o número de voltas; (4) multiplicar por k para obter D.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Comprimento de uma volta do pneu

O pneu tem formato circular com diâmetro L (em metros). A cada volta completa sem derrapar, ele percorre exatamente o seu próprio comprimento (perímetro), dado pela fórmula clássica da circunferência:

C = π · L (metros por volta)

Subpasso 4.2 — Número de voltas na viagem

A viagem tem x km. Como C está em metros, é preciso converter x km para metros:

x km = 1000 · x m

O número de voltas n é a distância total dividida pelo comprimento de cada volta:

n = (1000 · x) / (π · L)

Subpasso 4.3 — Aplicando a proporcionalidade e verificando

O enunciado afirma que o desgaste D é diretamente proporcional ao número de voltas n, com constante k:

D = k · n = k · [(1000 · x) / (π · L)]

Reorganizando:

D = (1000 · k · x) / (π · L)

Verificação de consistência: se L aumenta (pneu maior), cada volta cobre mais distância, então são necessárias menos voltas para percorrer o mesmo trajeto — e de fato L aparece no denominador, reduzindo D. Se x aumenta (viagem mais longa), mais voltas são dadas e o desgaste cresce — e x está no numerador, coerente com o esperado. A expressão bate exatamente com a alternativa B.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) D = (500·k·x) / (π·L)

❌ Incorreta: usa o fator 500 em vez de 1000 na conversão de km para m. Esse erro surge de dividir x por 2 indevidamente ou de confundir "500 m" com metade de um quilômetro sem perceber que a conversão correta é 1 km = 1000 m.

B) D = (1000·k·x) / (π·L)

✅ Correta: reúne corretamente as três etapas — conversão de x km em 1000x metros, comprimento da circunferência π·L, e a relação de proporcionalidade direta D = k·n. É exatamente o resultado obtido no Passo 4.

C) D = (1000·k·x) / L

❌ Incorreta: omite o π no denominador, ou seja, trata o comprimento da volta como se fosse apenas o diâmetro L, e não a circunferência π·L. Isso equivaleria a supor (erradamente) que o pneu percorre uma distância igual ao seu diâmetro a cada volta.

D) D = (1000·k·x) / (π·L²)

❌ Incorreta: eleva L ao quadrado, um erro típico de quem confunde comprimento de circunferência (que é linear em L, proporcional a π·L) com área do círculo (que envolve L² por meio de π·(L/2)²). Aqui não há área nenhuma no problema — apenas comprimento percorrido.

E) D = (4000·k·x) / (π·L²)

❌ Incorreta: acumula dois erros — o fator 4000 (em vez de 1000, possivelmente confundindo com fórmulas de área do círculo que trazem 4 no denominador, como A = πL²/4, e invertendo a operação) e o L² indevido, repetindo o equívoco da alternativa D.

🏆 Gabarito: B — D = (1000·k·x) / (π·L) é a única expressão que traduz corretamente as três etapas da modelagem: conversão de km para m (fator 1000), comprimento da circunferência do pneu (π·L) e a proporcionalidade direta entre desgaste e número de voltas (fator k).

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a alternativa B preserva simultaneamente o fator correto de conversão de unidades (1000, não 500 nem 4000) e a potência correta de L (L¹, porque circunferência é uma medida linear, não uma área).
• Padrão de cobrança: o ENEM gosta de embutir uma fórmula de geometria (aqui, comprimento da circunferência) dentro de um problema de proporcionalidade disfarçado de contexto do cotidiano (pneus, rodas, engrenagens, rodas-gigantes). A "pegadinha" quase sempre mora na conversão de unidades e na diferença entre grandezas lineares (perímetro) e quadráticas (área).
• Generalização: sempre que um objeto circular "rola sem derrapar", a distância percorrida por volta é igual ao seu perímetro (π · diâmetro ou 2π · raio). Número de voltas = distância total ÷ perímetro de uma volta, sempre com as unidades compatibilizadas antes de dividir.
• Dica de eliminação rápida: primeiro cheque a potência de L — se a grandeza pedida é uma distância percorrida (linear), L deve aparecer no expoente 1; alternativas com L² (como D e E aqui) quase sempre confundem perímetro com área e podem ser descartadas de cara. Em seguida, confira o fator numérico de conversão de unidades (1 km = 1000 m) para eliminar variações como 500 ou 4000.
• Conexões: comprimento de circunferência e área do círculo; razões e proporções; problemas de "rodas que giram" (engrenagens, polias, rodas-gigantes) que aparecem com frequência em outras edições do ENEM.