Questão 174 — ENEM 2021 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Funções (função quadrática, ponto de máximo/mínimo)
• ⚡ Nível: Médio — a álgebra é simples, mas a "roupagem" física (K, R, x) costuma confundir quem tenta manipular todas as letras sem entender qual delas é a variável.
• 🎯 Tema/Habilidade: Máximo de função do 2º grau aplicada a um modelo físico (competência de modelagem matemática — H25/H26 da matriz do ENEM).
• 🏆 Gabarito: A — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Para qual valor de x a função V(x) = K²(R² − x²) atinge seu valor máximo?"
• Palavras-chave decisivas: diretamente proporcional, K constante positiva, velocidade máxima
• Armadilha típica: confundir a variável do problema (x, a distância ao centro) com as constantes (K e R), tentando "combinar" letras para formar respostas como KR ou K²R² sem entender que a pergunta pede apenas o valor de x.
• O que a resposta precisa demonstrar: identificar corretamente qual letra é a variável independente e aplicar a lógica de máximo de uma parábola com concavidade voltada para baixo.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Função quadrática: toda expressão da forma f(x) = ax² + bx + c é uma parábola; o sinal de "a" define se ela tem ponto de máximo (a < 0) ou de mínimo (a > 0).
• Vértice da parábola: o vértice ocorre em x_v = −b/(2a); quando b = 0, o vértice cai exatamente sobre x = 0.
• Interpretação de domínio físico: em problemas de modelagem, a variável algébrica (aqui, x) precisa respeitar as restrições do fenômeno real — nesse caso, x é a distância de uma partícula até o centro do tubo, então 0 ≤ x ≤ R.
• Regra do quadrado mínimo: como x² ≥ 0 para qualquer x real, o termo (R² − x²) é máximo exatamente quando x² é o menor valor possível, ou seja, x² = 0.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "V(x) = K²(R² – x²)" → mostra que V é função de x (a variável), enquanto K e R são constantes fixas do tubo e do fluido — a pergunta busca apenas o x que maximiza essa expressão.
• Evidência 2: "K é uma constante positiva" → como K > 0, então K² > 0 sempre; isso garante que o coeficiente que multiplica −x² é negativo, ou seja, a parábola em x tem concavidade para baixo (existe um ponto de máximo, não de mínimo).
• Evidência 3: "distância x da partícula ao centro da secção" → define fisicamente que x varia de 0 (partícula exatamente no centro do tubo) até R (partícula encostada na parede do tubo).
• Síntese: juntando as três evidências, o problema pede o ponto de máximo de uma parábola voltada para baixo, cujo vértice precisa ser encontrado dentro do intervalo físico 0 ≤ x ≤ R — e não uma combinação algébrica de K e R.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Reescrever V(x) na forma padrão de função quadrática

Distribuindo o termo K² dentro do parêntese:

V(x) = K²R² − K²x² = (−K²)·x² + 0·x + K²R²

Comparando com f(x) = a·x² + b·x + c, temos:

a = −K² (negativo, pois K² > 0)

b = 0

c = K²R²

Como a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo — logo, existe um ponto de máximo, e não de mínimo.

Subpasso 4.2 — Localizar o vértice (ponto de máximo)

A coordenada x do vértice de qualquer parábola é dada por:

x_v = −b / (2a)

Substituindo b = 0:

x_v = −0 / (2·(−K²)) = 0

Ou seja, o máximo de V ocorre exatamente em x = 0.

Isso também pode ser visto sem fórmula: como (R² − x²) diminui à medida que x² cresce, o maior valor possível de (R² − x²) acontece quando x² é o menor valor possível. Como x² ≥ 0 para todo x real, o menor valor de x² é 0, atingido apenas quando x = 0.

Subpasso 4.3 — Verificação

Calculando V nos extremos do domínio físico (0 ≤ x ≤ R):

V(0) = K²(R² − 0²) = K²R² → valor máximo

V(R) = K²(R² − R²) = K²·0 = 0 → valor mínimo

O resultado bate com a física real do escoamento: no centro do tubo (x = 0) o atrito com a parede é nulo e a velocidade é máxima; na parede (x = R) o atrito freia totalmente o fluido e a velocidade cai a zero — é exatamente o perfil parabólico do escoamento laminar (fluxo de Poiseuille). A confirmação matemática (vértice em x = 0) e a confirmação física (maior velocidade no centro do tubo) coincidem, validando x = 0 como resposta.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 0.

✅ Correta: é o valor de x que anula o termo negativo (−K²x²), deixando V(x) igual ao seu valor máximo possível, K²R². Corresponde ao vértice da parábola com concavidade para baixo.

B) R.

❌ Incorreta: em x = R a partícula está encostada na parede do tubo, onde V(R) = K²(R² − R²) = 0 — esse é o ponto de velocidade mínima (nula), o oposto do que a questão pede.

C) 2R.

❌ Incorreta: viola o domínio físico do problema, já que x é a distância ao centro de uma secção de raio R, logo x não pode superar R. Além disso, substituindo x = 2R obtém-se V = K²(R² − 4R²) = −3K²R², um valor negativo, incompatível com uma velocidade (grandeza que a função representa como positiva no modelo).

D) KR.

❌ Incorreta: é uma armadilha de "combinar letras do enunciado" sem fundamento algébrico — não existe nenhum passo da resolução da função quadrática que produza o produto entre a constante K e o raio R como resposta para a variável x.

E) K²R².

❌ Incorreta: confunde o eixo x (domínio, a variável que se busca) com o eixo V (imagem da função). K²R² é justamente o valor máximo da velocidade V(x), obtido quando x = 0 — não é o valor de x, mas sim o resultado de V(0).

🏆 Gabarito: A — a velocidade V(x) é máxima quando x = 0, pois esse é o único ponto que anula o termo subtrativo (−K²x²) e coincide com o vértice da parábola de concavidade voltada para baixo.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: como V(x) = K²(R² − x²) tem coeficiente de x² negativo (−K²) e coeficiente linear nulo (b = 0), seu vértice — e portanto seu ponto de máximo — está sempre em x = 0, o centro do tubo.
• Padrão de cobrança: o ENEM adora "disfarçar" o clássico problema de vértice de parábola (x_v = −b/2a) dentro de contextos físicos, econômicos ou geométricos, exigindo que o estudante primeiro identifique quem é a variável e quem são as constantes antes de aplicar a álgebra.
• Generalização: para qualquer função da forma f(x) = A − Bx² (com A e B positivos), o máximo sempre ocorre em x = 0, pois o termo −Bx² só pode reduzir o valor de f à medida que |x| cresce.
• Dica de eliminação rápida: ao ver uma pergunta pedindo "o valor de x", elimine na hora qualquer alternativa que seja claramente um valor da função (imagem) e não do domínio — isso descarta E imediatamente; em seguida, teste mentalmente os extremos do domínio físico (x = 0 e x = R) para decidir entre A e B.
• Conexões: vértice de parábola e completar quadrado; perfil de velocidade em escoamento laminar (Lei de Poiseuille); problemas de otimização em contextos aplicados (área máxima, lucro máximo).