Questão 175 — ENEM 2021 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Sistemas de Equações Lineares aplicados a Densidade e Massa
• ⚡ Nível: Médio — a dificuldade não está na álgebra em si, mas em traduzir corretamente "densidade da gasolina é sete oitavos da densidade do etanol" para uma relação entre massas
• 🎯 Tema/Habilidade: Resolução de sistemas lineares construídos a partir de uma situação-problema com grandezas proporcionais (densidade = massa/volume)
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Encontre a massa do tanque vazio, sabendo quanto ele pesa cheio de gasolina, quanto pesa cheio de etanol e a razão entre as densidades desses dois combustíveis."
• Palavras-chave decisivas: cheio de gasolina (33 kg), cheio de etanol (37 kg), densidade da gasolina é sete oitavos da densidade do etanol
• Armadilha típica: tratar 33 kg e 37 kg como se fossem apenas a massa do combustível (esquecendo de somar a massa do tanque vazio), ou inverter a proporção e escrever E = (7/8)G em vez de G = (7/8)E.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de montar um sistema com três incógnitas (tanque, gasolina, etanol), eliminar a incógnita repetida por subtração e usar a razão de densidades para destravar o sistema.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Densidade (d = m/V): para um mesmo volume V (o tanque cheio tem sempre o mesmo volume interno, seja com gasolina ou etanol), a massa do combustível é diretamente proporcional à sua densidade. Logo, se d_gasolina = (7/8)·d_etanol, então massa_gasolina = (7/8)·massa_etanol.
• Sistema de equações lineares: o enunciado fornece duas somas (tanque + gasolina = 33; tanque + etanol = 37) e uma proporção entre as parcelas de combustível. São três equações para três incógnitas (T, G, E), resolvidas por substituição e eliminação.
• Eliminação por subtração: quando duas equações compartilham a mesma incógnita com o mesmo coeficiente (aqui, T aparece com coeficiente 1 nas duas), subtrair uma da outra elimina essa incógnita e isola a relação entre as demais.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "um tanque tem massa igual a 33 kg quando está cheio de gasolina" → T + G = 33, em que T é a massa do tanque vazio e G é a massa de gasolina que cabe nele.
• Evidência 2: "37 kg quando está cheio de etanol" → T + E = 37, com E a massa de etanol que cabe no mesmo tanque.
• Evidência 3: "a densidade da gasolina é sete oitavos da densidade do etanol" → como o volume do tanque cheio é o mesmo nas duas situações, G = (7/8)·E.
• Síntese: as duas primeiras equações têm T em comum; subtraindo uma da outra, T desaparece e sobra uma equação só com E e G, que é exatamente resolvida pela razão de densidades da evidência 3.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Montagem do sistema

Sejam T = massa do tanque vazio, G = massa de gasolina no tanque cheio, E = massa de etanol no tanque cheio.

• (I) T + G = 33
• (II) T + E = 37
• (III) G = (7/8)·E

Subpasso 4.2 — Eliminando T e resolvendo para E e G

Subtraindo (I) de (II), a massa do tanque T desaparece porque aparece com o mesmo coeficiente (1) nas duas equações:

(T + E) − (T + G) = 37 − 33

E − G = 4

Substituindo G = (7/8)·E (equação III) nessa diferença:

E − (7/8)·E = 4

(1/8)·E = 4

E = 4 × 8 = 32 kg

Logo:

G = (7/8) × 32 = 28 kg

Subpasso 4.3 — Isolando T e verificação

Usando a equação (I): T = 33 − G = 33 − 28 = 5 kg

Conferindo pela equação (II): T = 37 − E = 37 − 32 = 5 kg ✓

As duas equações originais devolvem o mesmo valor de T, o que confirma a consistência da solução: o tanque vazio tem massa igual a 5 kg, valor que corresponde exatamente à alternativa D.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 1,0

❌ Incorreta: esse valor surge de um erro de manipulação da fração — por exemplo, ao calcular apenas 4 ÷ (7+8) ou confundir o denominador 8 da razão 7/8 com um divisor direto da diferença 4, sem montar e resolver o sistema completo (T + G = 33 e T + E = 37).

B) 3,5

❌ Incorreta: resulta de aplicar a razão de densidades diretamente sobre a diferença bruta (37 − 33 = 4), calculando 4 × (7/8) = 3,5, em vez de usar essa razão para separar G e E individualmente e só depois isolar T. É um erro de "atalho" que ignora que a fração 7/8 relaciona G e E, não a diferença E − G.

C) 4,0

❌ Incorreta: é exatamente o valor de E − G (a diferença entre as massas de etanol e de gasolina), não a massa do tanque. Quem resolve até (1/8)·E = 4 e para nesse ponto, sem terminar o cálculo de E, G e T, acaba marcando esse valor intermediário por engano.

D) 5,0

✅ Correta: é o resultado de T = 33 − G = 33 − 28 = 5, obtido ao resolver corretamente o sistema (T + G = 33; T + E = 37; G = 7E/8) até o fim, com verificação cruzada nas duas equações originais.

E) 9,0

❌ Incorreta: pode surgir de uma combinação equivocada entre grandezas de situações diferentes, como calcular 37 − 28 (etanol cheio menos a massa de gasolina, e não de etanol), misturando dados que pertencem a equações distintas do sistema.

🏆 Gabarito: D — o sistema T + G = 33, T + E = 37 e G = (7/8)E é o único caminho consistente com o enunciado, e ele leva a E = 32 kg, G = 28 kg e T = 5 kg, valor confirmado por duas equações independentes.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: T = 5 kg é o único valor que satisfaz simultaneamente T + G = 33 e T + E = 37 quando G e E respeitam a razão de densidades 7/8 — nenhuma outra alternativa passa nesse teste de consistência dupla.
• Padrão de cobrança: o ENEM recorrentemente propõe problemas de sistemas lineares "disfarçados" em contextos físicos ou cotidianos (tanques, misturas, embalagens, contas de consumo), em que o desafio real é traduzir o texto em equações, não resolver álgebra complexa.
• Generalização: sempre que duas equações compartilharem uma mesma incógnita com o mesmo coeficiente, subtraí-las é o caminho mais rápido para eliminá-la e revelar a relação entre as variáveis restantes.
• Dica de eliminação rápida: calcule primeiro a diferença simples entre os totais fornecidos (aqui, 37 − 33 = 4) — o valor correto quase sempre nasce de operar essa diferença junto com a proporção dada, então descarte de cara qualquer alternativa que pareça ser o resultado de uma única operação isolada, como multiplicar ou dividir a diferença sem montar o sistema completo.
• Conexões: sistemas de equações lineares com duas ou três incógnitas; grandezas diretamente proporcionais (densidade, velocidade, concentração) aplicadas a problemas contextualizados.