Questão 155 — ENEM 2021 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Função Afim (equação da reta a partir de dois pontos)
• ⚡ Nível: Fácil — basta ler dois pontos em um gráfico cartesiano e montar a equação da reta que passa por eles.
• 🎯 Tema/Habilidade: Conversão entre escalas termométricas via função do 1º grau; competência de traduzir informação gráfica em linguagem algébrica.
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "A partir do gráfico que relaciona °C e °D, encontre a equação que liga essas duas grandezas."
• Palavras-chave decisivas: relação algébrica, reta que passa pelos pontos A e B, duas escalas
• Armadilha típica: trocar os coeficientes de C e D (confundir qual variável está no eixo horizontal e qual está no vertical) ou errar o sinal do coeficiente angular, já que a reta é decrescente.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de extrair coordenadas de um gráfico, calcular o coeficiente angular e escrever a equação da reta na forma que aparece nas alternativas (com D e C do mesmo lado, sem frações).

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Função afim (1º grau): toda reta não vertical do plano cartesiano pode ser escrita como y = mx + n, em que m é o coeficiente angular (taxa de variação) e n é o coeficiente linear (valor de y quando x = 0).
• Coeficiente angular a partir de dois pontos: dados P₁(x₁, y₁) e P₂(x₂, y₂), o coeficiente angular é m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁). Ele mede "quanto y varia para cada unidade que x varia".
• Leitura de gráfico como par ordenado: em um gráfico com eixo horizontal e vertical nomeados, cada ponto marcado (como A e B) representa um par ordenado (valor do eixo x, valor do eixo y) que pode ser usado diretamente nas fórmulas da reta.
• Conversão de escalas termométricas: escalas de temperatura diferentes (Celsius, Fahrenheit, Kelvin, Delisle etc.) são, matematicamente, apenas transformações lineares umas das outras — por isso o gráfico que as relaciona é sempre uma reta.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "a reta que passa pelos pontos A e B" → o gráfico mostrado é a fonte de dados; é dele que devemos extrair as coordenadas exatas de A e B, não de nenhum outro valor do enunciado em texto.
• Evidência 2: no gráfico, o eixo horizontal está identificado como "°C (Celsius)" e o eixo vertical como "°D (Delisle)", com o ponto A marcado em (0, 150) e o ponto B marcado em (100, 0).
• Síntese: como o eixo horizontal é C e o vertical é D, cada ponto do gráfico tem a forma (C, D). Logo A = (C, D) = (0, 150) e B = (C, D) = (100, 0). Com esses dois pontos monta-se a reta D em função de C, e depois se reorganiza a equação para bater com o formato das alternativas.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Identificar as coordenadas de A e B

Pelo gráfico, com eixo horizontal C e eixo vertical D:

• Ponto A: C = 0, D = 150 → A(0, 150)
• Ponto B: C = 100, D = 0 → B(100, 0)

Esses são os únicos dados numéricos necessários — o gráfico substitui qualquer tabela.

Subpasso 4.2 — Calcular o coeficiente angular (D em função de C)

Tratando D como variável dependente e C como variável independente:

m = (D_B − D_A)/(C_B − C_A) = (0 − 150)/(100 − 0) = −150/100 = −3/2

O sinal negativo confirma o que o gráfico já mostra visualmente: a reta é decrescente — quanto maior a temperatura em Celsius, menor o valor em Delisle (faz sentido histórico, pois na escala Delisle o ponto de ebulição da água é 0°D e o de congelamento é 150°D, ao contrário da escala Celsius).

Subpasso 4.3 — Montar a equação da reta

Usando a forma D = m·C + n e o ponto A(0, 150), como C = 0 já fornece diretamente o coeficiente linear:

n = D_A = 150

D = −3/2 · C + 150

Subpasso 4.4 — Eliminar a fração para bater com o formato das alternativas

Multiplicando toda a equação por 2:

2D = −3C + 300

Reorganizando para deixar C e D do mesmo lado, com sinais positivos:

2D + 3C = 300

Subpasso 4.5 — Verificação

Testando os dois pontos na equação encontrada:

• Ponto A(C=0, D=150): 2(150) + 3(0) = 300 + 0 = 300 ✓
• Ponto B(C=100, D=0): 2(0) + 3(100) = 0 + 300 = 300 ✓

A equação 2D + 3C = 300 é validada pelos dois pontos do gráfico, exatamente o que aparece na alternativa D.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 2D + C = 100

❌ Incorreta: o coeficiente de C está errado (deveria ser 3, não 1) e a constante também (deveria ser 300, não 100). Testando o ponto A(0, 150): 2(150) + 0 = 300 ≠ 100 — a equação nem sequer passa pelo ponto A do gráfico.

B) 2D + 3C = 150

❌ Incorreta: os coeficientes de D e C estão certos, mas a constante está errada — é a metade do valor correto. Esse é o erro clássico de quem calcula certo o coeficiente angular, mas esquece de multiplicar o coeficiente linear (n = 150) por 2 ao eliminar a fração, mantendo 150 em vez de chegar a 300.

C) 3D + 2C = 300

❌ Incorreta: os coeficientes de D e C foram invertidos. Testando o ponto A(0, 150): 3(150) + 2(0) = 450 ≠ 300 — não satisfaz nem o próprio ponto A do gráfico, mostrando que essa troca de coeficientes rompe a relação real entre as variáveis.

D) 2D + 3C = 300

✅ Correta: é exatamente a equação obtida a partir do coeficiente angular m = −3/2 e do coeficiente linear n = 150, verificada com sucesso nos dois pontos A(0, 150) e B(100, 0) do gráfico.

E) 3D + 2C = 450

❌ Incorreta: além de inverter os coeficientes de D e C (como em C), a constante também está errada. Testando o ponto B(100, 0): 3(0) + 2(100) = 200 ≠ 450 — não é compatível com nenhum dos dois pontos fornecidos.

🏆 Gabarito: D — a equação 2D + 3C = 300 é a única que satisfaz simultaneamente os pontos A(0, 150) e B(100, 0) lidos no gráfico, resultado direto do cálculo do coeficiente angular m = −3/2 e do coeficiente linear n = 150.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a alternativa D reproduz corretamente tanto o coeficiente angular (−3/2, multiplicado por 2 para eliminar a fração) quanto o coeficiente linear (150, também multiplicado por 2), resultando em 2D + 3C = 300 — a única equação validada pelos dois pontos do gráfico.
• Padrão de cobrança: o ENEM cobra recorrentemente conversão de escalas (temperatura, mas também escalas de outras grandezas) como pretexto para testar função afim a partir de dois pontos de um gráfico ou de uma tabela — a "roupagem" muda, mas o procedimento matemático é sempre o mesmo.
• Generalização: sempre que uma questão fornecer dois pontos de uma reta (via gráfico ou tabela), o caminho é: (1) identificar as coordenadas com atenção a qual variável está em cada eixo; (2) calcular m = Δy/Δx; (3) achar n substituindo um ponto na equação y = mx + n; (4) manipular algebricamente (multiplicar, reorganizar termos) para bater com o formato pedido nas alternativas.
• Dica de eliminação rápida: substitua diretamente um dos pontos do gráfico (de preferência o mais simples, como A(0, 150)) em cada alternativa — a equação verdadeira é a única que resulta em igualdade. Isso elimina alternativas com coeficientes trocados ou constantes erradas sem precisar refazer todo o cálculo.
• Conexões: funções afins aplicadas a contextos de conversão de unidades (Celsius-Fahrenheit, Celsius-Kelvin) e problemas de custo fixo + custo variável (outra aplicação clássica de y = mx + n no ENEM).