Questão 163 — ENEM 2021 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Função Afim (proporcionalidade + taxa fixa)
• ⚡ Nível: Fácil — basta identificar um padrão linear na tabela e aplicar a fórmula uma única vez
• 🎯 Tema/Habilidade: Modelagem de situação real por função afim (H21/H25 — resolver problema com equações e funções)
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Dado que o preço é taxa fixa + valor proporcional à área, e conhecendo alguns pares (área, preço) na tabela, calcule o preço para 150 m²."
• Palavras-chave decisivas: taxa fixa de R$ 25,00, quantia proporcional à área, 150 m²
• Armadilha típica: multiplicar 150 apenas pela "taxa por metro quadrado" e esquecer de somar a taxa fixa de R$ 25,00 — isso leva direto à alternativa A.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de extrair o coeficiente angular (preço por m²) a partir da tabela e aplicá-lo corretamente dentro da estrutura "fixo + variável" para um valor de área que não está na tabela (extrapolação).

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Função afim: toda função do tipo f(x) = a·x + b, em que b é o valor fixo (independe de x) e a é a taxa de variação (quanto o preço sobe para cada unidade de x). Aqui, x é a área pintada.
• Termo independente (b): no problema, é dado explicitamente no enunciado como R$ 25,00 — a cobrança mínima que o pintor faz mesmo que a área fosse "zero".
• Coeficiente angular (a): representa o preço cobrado por m² pintado; precisa ser calculado a partir de dois pontos da tabela, pois não vem pronto no texto.
• Leitura de tabela como conjunto de pares ordenados: cada linha (Área, Total a pagar) é um ponto (x, y) que deve satisfazer a mesma lei de formação — por isso a tabela serve tanto para calcular quanto para conferir a fórmula.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "taxa fixa de R$ 25,00 mais uma quantia proporcional à área pintada" → confirma o modelo P(A) = 25 + k·A, com k desconhecido a determinar pelos dados da tabela.
• Evidência 2: Tabela — pares (5; 35,00), (10; 45,00), (20; 65,00), (40; 105,00), (80; 185,00) → cinco pontos experimentais que devem ser todos consistentes com a mesma reta, permitindo tanto calcular k quanto validar o modelo antes de extrapolar para 150 m².
• Síntese: basta usar qualquer par (A, P) da tabela para isolar k na equação P = 25 + k·A, confirmar com um segundo par (garantia de que o padrão é realmente linear) e então substituir A = 150 na fórmula validada.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Determinar o coeficiente k a partir de um ponto da tabela

Usando o par (5; 35,00):

P(A) = 25 + k·A

35 = 25 + k·5

35 − 25 = 5k

10 = 5k

k = 2

Logo, o pintor cobra R$ 2,00 por m² pintado, além da taxa fixa de R$ 25,00. A lei da função é:

P(A) = 25 + 2·A

Subpasso 4.2 — Validar a fórmula com os demais pontos da tabela

• A = 10: P = 25 + 2×10 = 25 + 20 = R$ 45,00 ✓ (bate com a tabela)
• A = 20: P = 25 + 2×20 = 25 + 40 = R$ 65,00 ✓
• A = 40: P = 25 + 2×40 = 25 + 80 = R$ 105,00 ✓
• A = 80: P = 25 + 2×80 = 25 + 160 = R$ 185,00 ✓

Todos os cinco pontos da tabela obedecem exatamente à mesma reta P(A) = 25 + 2A, o que confirma que o modelo está correto e pode ser usado com segurança para extrapolar (calcular um valor de área que não aparece na tabela).

Subpasso 4.3 — Verificação: calcular o preço para A = 150 m²

P(150) = 25 + 2 × 150

P(150) = 25 + 300

P(150) = R$ 325,00

Esse valor corresponde exatamente à alternativa B, confirmando que o raciocínio (achar k, validar, extrapolar) está correto.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) R$ 300,00

❌ Incorreta: é o resultado de calcular apenas 2 × 150 = 300, ignorando completamente a taxa fixa de R$ 25,00. Esse é o erro clássico de quem trata o problema como proporcionalidade direta (P = k·A) em vez de função afim (P = b + k·A).

B) R$ 325,00

✅ Correta: aplica corretamente P(A) = 25 + 2A para A = 150, resultando em 25 + 300 = 325,00, valor consistente com todos os cinco pontos fornecidos na tabela.

C) R$ 400,00

❌ Incorreta: não corresponde a nenhuma combinação coerente entre a taxa fixa e o coeficiente k = 2,00/m² encontrado a partir da tabela; é um valor que "parece razoável" mas não decorre de nenhuma conta válida com os dados reais do problema — provavelmente resultado de erro aritmético ao somar ou multiplicar.

D) R$ 1 050,00

❌ Incorreta: sugere confusão de unidade ou de coeficiente, como usar k = 7 (por exemplo, multiplicar 150 por um valor de outra linha da tabela, como 105 ÷ 40 mal calculado, ou tratar 150 como se fosse outra grandeza). Esse valor é cerca de 3 vezes maior que o correto, incompatível com a taxa de R$ 2,00 por m² validada em todos os pontos da tabela.

E) R$ 3 750,00

❌ Incorreta: valor obtido, por exemplo, ao multiplicar 25 × 150 (tratando a taxa fixa, e não o coeficiente k, como se fosse o valor "por metro quadrado"). Isso inverte os papéis de b e k na função afim, um erro conceitual grave sobre qual parcela é fixa e qual é proporcional.

🏆 Gabarito: B — P(150) = 25 + 2×150 = R$ 325,00, único valor coerente com a taxa fixa de R$ 25,00 somada à taxa de R$ 2,00 por m² confirmada em todos os pontos da tabela.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: somente R$ 325,00 respeita simultaneamente a taxa fixa de R$ 25,00 do enunciado e o coeficiente k = 2,00/m² extraído e validado com os cinco pontos da tabela; qualquer outro valor rompe essa consistência.
• Padrão de cobrança: o ENEM adora contextualizar função afim em situações de "preço = taxa fixa + custo proporcional" (táxi, estacionamento, conta de luz, serviço de pintor, aluguel de ferramentas), sempre pedindo para o aluno calcular o coeficiente a partir de uma tabela e depois extrapolar para um valor fora dela.
• Generalização: sempre que o enunciado disser "taxa fixa + quantia proporcional a X", monte P(X) = b + k·X, calcule k com um par de dados (k = (P₂ − P₁)/(X₂ − X₁) ou isolando na fórmula com b conhecido) e confira com pelo menos mais um ponto antes de confiar no modelo.
• Dica de eliminação rápida: calcule mentalmente k·A sozinho (sem somar a taxa fixa) — isso já identifica e elimina a "armadilha de proporcionalidade direta" (alternativa A) em segundos; valores muito acima do esperado (ordem de milhares) geralmente indicam troca de papel entre b e k, como em E.
• Conexões: sistemas de equações lineares (para achar b e k quando nenhum dos dois é dado diretamente) e leitura/interpretação de tabelas e gráficos de função de 1º grau.