Questão 145 — ENEM 2021 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Juros Compostos e Logaritmos
• ⚡ Nível: Médio — exige montar a equação exponencial correta e depois traduzi-la para logaritmo usando uma tabela auxiliar, duas etapas que costumam confundir quem não domina a propriedade log(aⁿ) = n·log(a)
• 🎯 Tema/Habilidade: Cálculo do tempo de duplicação de capital em capitalização composta via equação exponencial resolvida com logaritmos (Competência de Área 5 — H21/H22, ENEM Matemática)
• 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Descubra, usando a tabela de logaritmos fornecida, quantos meses são necessários para que R$ 100.000,00 dobre de valor a uma taxa composta de 0,8% ao mês."
• Palavras-chave decisivas: duplique, regime de capitalização composta, tabela
• Armadilha típica: tentar resolver "no braço", multiplicando 0,8% por algum número de meses de forma linear (regra de três simples), como se o juro fosse simples — isso ignora que o crescimento é exponencial e leva a respostas erradas como 125 (que seria o resultado de uma conta linear malfeita) ou 156.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de transformar a condição "o capital dobra" em uma equação exponencial, isolar o expoente n aplicando logaritmo em ambos os lados e usar corretamente os valores numéricos já calculados na tabela (sem precisar de calculadora).

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Capitalização composta: em cada período, os juros incidem sobre o montante acumulado (capital + juros anteriores), e não apenas sobre o capital inicial. Por isso o crescimento é exponencial: F = C(1 + x)ⁿ.
• Condição de duplicação: "o capital dobra" significa que o valor final F é igual a duas vezes o capital inicial C, ou seja, F = 2C. Substituindo na fórmula, obtemos a equação que precisa ser resolvida para n.
• Logaritmo como ferramenta para "descer" o expoente: quando a incógnita está no expoente de uma potência, aplica-se log em ambos os membros da igualdade e usa-se a propriedade log(aⁿ) = n · log(a) para transformar o problema em uma equação linear simples, resolvível apenas com divisão.
• Leitura de tabela de log: a tabela fornecida já entrega valores prontos de log Y para alguns Y específicos (1,008; 1,08; 1,8; 2; 3), dispensando o uso de calculadora — a habilidade cobrada é localizar os dois valores certos e fazer a divisão correta.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "taxa de rendimento de 0,8% ao mês, num regime de capitalização composta" → define x = 0,008, logo o fator de crescimento mensal é (1 + x) = 1,008.
• Evidência 2: "o capital inicial de R$ 100 000,00 duplique" → define a condição F = 2C, independentemente do valor exato de C (que se cancela na equação, como será visto no Passo 4).
• Evidência 3 (tabela da imagem): a tabela relaciona Y e log Y, trazendo exatamente as duas linhas necessárias — Y = 1,008 → log Y = 0,003 e Y = 2 → log Y = 0,30 — um forte sinal de que a resolução passa por log(1,008) e log(2).
• Síntese: o problema pede a solução de 2 = (1,008)ⁿ, e a tabela foi desenhada propositalmente para fornecer log(1,008) e log(2) prontos, eliminando a necessidade de calculadora e reduzindo a resolução a uma divisão direta.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Montar a equação exponencial da duplicação

Partindo da fórmula fornecida F = C(1 + x)ⁿ, com x = 0,008 (0,8% em forma decimal) e a condição de duplicação F = 2C, substituímos:

2C = C(1 + 0,008)ⁿ

Como C ≠ 0 (há capital aplicado), podemos dividir ambos os lados por C, cancelando-o:

2 = (1,008)ⁿ

Note que o valor absoluto de C (R$ 100 000,00) é irrelevante para o tempo de duplicação — esse é um resultado clássico de juros compostos: o tempo para dobrar não depende do capital inicial, só da taxa.

Subpasso 4.2 — Aplicar logaritmo e usar a tabela

Para "descer" o expoente n, aplicamos log (base 10) em ambos os lados da igualdade:

log(2) = log[(1,008)ⁿ]

Pela propriedade do logaritmo da potência, log(aⁿ) = n · log(a):

log(2) = n · log(1,008)

Agora isolamos n:

n = log(2) ÷ log(1,008)

Consultando a tabela da figura:

• Y = 2 → log Y = 0,30
• Y = 1,008 → log Y = 0,003

Substituindo:

n = 0,30 ÷ 0,003 = 100

Subpasso 4.3 — Verificação

O resultado n = 100 meses é coerente com a ordem de grandeza esperada: a uma taxa baixa de 0,8% ao mês, dobrar o capital deve levar várias dezenas de meses (não 10, nem 1,5), mas também não deve ser um número absurdamente alto como 156. Fazendo uma checagem por estimativa com a regra dos 72 (regra prática de finanças: tempo de duplicação ≈ 72 ÷ taxa em %), temos 72 ÷ 0,8 = 90, valor bem próximo de 100 — a pequena diferença se deve à aproximação da regra dos 72 frente ao cálculo logarítmico exato feito com os dados da tabela. O resultado n = 100 está confirmado.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 156.

❌ Incorreta: não corresponde a nenhuma combinação coerente dos valores da tabela para resolver log(2) = n·log(1,008); é um distrator que simula o erro de usar um logaritmo errado (por exemplo, dividir log(2) por um valor menor que 0,003) ou de confundir a base do cálculo.

B) 125.

❌ Incorreta: é o resultado que se obteria de um raciocínio linear equivocado (do tipo "100% ÷ 0,8% = 125", tratando a duplicação como se o crescimento fosse de juro simples, somando 0,8% por mês até completar 100% de acréscimo). Esse valor ignora completamente a natureza exponencial da capitalização composta, sendo a armadilha mais tentadora da questão.

C) 100.

✅ Correta: é exatamente o valor obtido pela divisão log(2) ÷ log(1,008) = 0,30 ÷ 0,003 = 100, usando rigorosamente os dados fornecidos na tabela e a propriedade correta de logaritmo de potência.

D) 10.

❌ Incorreta: valor muito pequeno; corresponderia, por exemplo, a um erro grosseiro de posicionamento de vírgula na divisão (0,30 ÷ 0,03 em vez de 0,30 ÷ 0,003), confundindo a linha de Y = 1,08 (log = 0,03) com a linha de Y = 1,008 (log = 0,003) na tabela.

E) 1,5.

❌ Incorreta: valor absurdo do ponto de vista financeiro — a uma taxa de apenas 0,8% ao mês, é fisicamente impossível que o capital dobre em um mês e meio; essa alternativa serve para eliminar quem tenta "chutar" sem montar a equação.

🏆 Gabarito: C — o único valor de n que satisfaz corretamente 2 = (1,008)ⁿ, usando log(2) = 0,30 e log(1,008) = 0,003 da tabela, é n = 100 meses.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: a letra C é a única compatível com a resolução algébrica correta da equação exponencial via logaritmo, apoiada diretamente nos dois valores que a tabela oferece de forma explícita.
• Padrão de cobrança: o ENEM recorrentemente cobra situações de juros compostos em que a incógnita está no expoente (tempo n), forçando o candidato a linearizar a equação com logaritmo; para dispensar calculadora, o exame sempre fornece uma tabela ou os valores de log já calculados.
• Generalização: para qualquer problema de duplicação (ou multiplicação por qualquer fator k) de capital em juros compostos, o tempo necessário é sempre n = log(k) ÷ log(1 + x), onde k é o fator de multiplicação e x é a taxa em decimal — essa fórmula resolve inclusive casos de triplicação, quadruplicação etc., bastando trocar log(k).
• Dica de eliminação rápida: sempre que aparecer "F = C(1+x)ⁿ" com a condição de dobrar/triplicar o capital, já simplifique C nos dois lados antes de qualquer coisa — isso elimina imediatamente alternativas absurdas de ordem de grandeza (como a "E) 1,5", fisicamente impossível para uma taxa baixa) e evita perder tempo com contas envolvendo o valor de C, que é irrelevante para o tempo de duplicação.
• Conexões: juros compostos e função exponencial; propriedades operatórias de logaritmos (log de potência, log de produto).