Questão 153 — ENEM 2021 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Teorema de Pitágoras aplicado a triângulos isósceles
• ⚡ Nível: Médio — exige extrair corretamente o triângulo retângulo escondido na figura e combinar duas etapas (Pitágoras + subtração de alturas)
• 🎯 Tema/Habilidade: Teorema de Pitágoras em situação-problema real (uso de conhecimentos geométricos para resolver problemas do cotidiano)
• 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "A partir das medidas da estrutura triangular de ferro do balanço e da altura do assento em repouso, calcule o comprimento x de cada corrente."
• Palavras-chave decisivas: comprimento x da corrente, altura de meio metro do assento, medidas de 3 m e 2 m da figura
• Armadilha típica: calcular apenas a altura do triângulo lateral (√8 m) e esquecer de descontar a altura do assento — isso leva direto à alternativa E, que é a pegadinha mais provável.
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de isolar um triângulo retângulo dentro de uma figura tridimensional, aplicar o Teorema de Pitágoras com os catetos corretos e interpretar fisicamente o resultado (a corrente não vai até o chão, pois o assento já fica suspenso).

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Teorema de Pitágoras: em todo triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos (a² = b² + c²). É a ferramenta central para achar medidas desconhecidas em triângulos a partir de duas medidas conhecidas.
• Altura relativa à base em triângulo isósceles: quando os dois lados oblíquos de um triângulo isósceles são iguais, a altura traçada até a base cai exatamente no ponto médio dela, formando dois triângulos retângulos congruentes. É esse detalhe geométrico — visível na figura pelo ângulo reto marcado — que permite montar o triângulo auxiliar.
• Composição/decomposição de alturas verticais: em problemas físicos com múltiplos "níveis" (chão, assento, topo da estrutura), a distância entre dois pontos que não estão na mesma referência é obtida subtraindo as alturas correspondentes, não somando-as.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "Cada uma das correntes que o sustenta tem medida do comprimento, em metro, indicada por x." → x é o segmento vertical entre o vértice superior da estrutura (onde a corrente é presa) e o assento do balanço — não entre o vértice e o chão.
• Evidência 2 (da figura): cada lado triangular de ferro tem dois lados inclinados de 3 m e uma base de 2 m, com uma linha tracejada vertical formando ângulo reto com a base (marcado pelo pequeno quadrado no desenho) → essa linha tracejada é a altura do triângulo isósceles, e o ângulo reto confirma que ela é perpendicular à base, dividindo-a ao meio.
• Evidência 3: "O assento de um balanço fica a uma altura de meio metro do chão, quando não está em uso." → existe uma distância de 0,5 m entre o chão e o assento que precisa ser descontada da altura total da estrutura para se chegar ao comprimento real da corrente.
• Síntese: o caminho de resolução é: (1) achar a altura h do triângulo lateral usando Pitágoras com hipotenusa 3 m e cateto 1 m (metade da base de 2 m); (2) subtrair 0,5 m dessa altura, já que a corrente termina no assento, que está 0,5 m acima do solo, e não no chão.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Montar o triângulo retângulo auxiliar

A estrutura de ferro de cada lado do balanço forma um triângulo isósceles: os dois lados inclinados (as barras que vão do chão até o topo) medem 3 m cada, e a base (a barra apoiada no chão) mede 2 m. A linha tracejada vertical do desenho, que encontra a base em ângulo reto, é a altura h desse triângulo — e é justamente ao longo dela que fica pendurada a corrente do balanço.

Como o triângulo é isósceles, essa altura cai exatamente no ponto médio da base, dividindo-a em dois segmentos de 1 m (metade de 2 m). Isso gera um triângulo retângulo menor com:

• hipotenusa = 3 m (a barra inclinada original);
• cateto 1 = 1 m (metade da base de 2 m);
• cateto 2 = h (a altura procurada, do chão até o topo da estrutura).

Subpasso 4.2 — Aplicar o Teorema de Pitágoras

Pelo Teorema de Pitágoras, a hipotenusa ao quadrado é igual à soma dos quadrados dos catetos:

3² = h² + 1²

9 = h² + 1

h² = 9 − 1 = 8

h = √8 m

Esse valor, √8 m (aproximadamente 2,83 m), é a altura total da estrutura triangular, medida do chão até o vértice superior — o ponto exato onde a corrente do balanço é fixada.

Subpasso 4.3 — Descontar a altura do assento e verificar

A corrente não vai do topo até o chão: ela vai do topo (altura √8 m) até o assento, que fica suspenso a 0,5 m do chão quando o balanço está parado. Logo, o comprimento x da corrente é a diferença entre essas duas alturas:

x = h − 0,5 = √8 − 0,5 m

Verificação: como √8 ≈ 2,83 m, temos x ≈ 2,33 m — um valor coerente para o comprimento de uma corrente de balanço (menor que a altura total da estrutura, e claramente maior que zero). Esse resultado corresponde exatamente à expressão algébrica √8 − 0,5.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) √2 − 0,5

❌ Incorreta: √2 seria a altura obtida se o triângulo retângulo auxiliar tivesse catetos 1 e 1 (hipotenusa √2), o que não corresponde à estrutura real, cuja hipotenusa é 3 m. Esse valor não tem relação direta com os dados da figura (3 m e 2 m).

B) 1,5

❌ Incorreta: é simplesmente a metade dos 3 m das barras inclinadas (3 ÷ 2), obtida sem nenhuma aplicação do Teorema de Pitágoras. Ignora completamente a geometria do triângulo e também a subtração da altura do assento.

C) √8 − 0,5

✅ Correta: é exatamente o resultado da altura do triângulo lateral — calculada por Pitágoras com hipotenusa 3 m e cateto 1 m (h² = 3² − 1² = 8) — subtraída da altura do assento em repouso (0,5 m), como exige a física do problema.

D) √10 − 0,5

❌ Incorreta: surge de um erro clássico na aplicação do Teorema de Pitágoras — somar os quadrados das duas medidas conhecidas (3² + 1² = 10) como se ambas fossem catetos de um triângulo cuja hipotenusa é a altura, em vez de subtrair (3² − 1² = 8), que é o procedimento correto quando a hipotenusa já é conhecida (3 m) e busca-se um cateto (a altura).

E) √8

❌ Incorreta: é exatamente a altura do triângulo lateral, mas sem descontar os 0,5 m de altura do assento. Quem escolhe essa alternativa interpreta a corrente como se ela fosse do topo da estrutura até o chão, ignorando que o assento — e não o chão — é o ponto final da corrente.

🏆 Gabarito: C — x = √8 − 0,5 é o único valor que combina corretamente a altura do triângulo isósceles (obtida por Pitágoras com hipotenusa 3 m e cateto 1 m) com o desconto da altura de 0,5 m em que o assento fica suspenso do chão.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: C é a única alternativa que representa fielmente as duas etapas físicas e matemáticas do problema — o cálculo geométrico da altura da estrutura (√8) e a correção física de que a corrente termina no assento, não no chão (−0,5).
• Padrão de cobrança: o ENEM recorrentemente contextualiza o Teorema de Pitágoras em situações do cotidiano — escadas, rampas, telhados, estruturas de brinquedos, andaimes — sempre exigindo que o estudante primeiro identifique o triângulo retângulo escondido dentro de uma figura mais complexa.
• Generalização: sempre que uma estrutura triangular isósceles aparecer com o comprimento dos lados iguais e da base conhecidos, a altura é h = √(lado² − (base/2)²); se houver um elemento "descontado" ao longo dessa altura (um assento, um degrau, uma plataforma), subtraia essa medida do resultado final.
• Dica de eliminação rápida: calcule primeiro √8 (≈ 2,83); qualquer alternativa sem √8 no radical (A, B e D) já indica erro na aplicação do Pitágoras e pode ser descartada de imediato. Entre as que sobram (C e E), lembre que a expressão "quando não está em uso" avisa que o assento não toca o chão — logo é preciso subtrair 0,5, o que elimina E e confirma C.
• Conexões: Teorema de Pitágoras; propriedades do triângulo isósceles; problemas de geometria plana aplicados a estruturas e situações do cotidiano.