Questão 150 — ENEM 2021 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem) e Probabilidade
• ⚡ Nível: Fácil — exige apenas aplicar o princípio multiplicativo e a definição clássica de probabilidade, sem cálculos complexos.
• 🎯 Tema/Habilidade: Contagem de sequências com elementos distintos aplicada ao cálculo de probabilidade clássica (casos favoráveis ÷ casos possíveis)
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Qual a probabilidade de o usuário acertar, em uma única tentativa, os dois últimos dígitos esquecidos da senha, sabendo apenas que eles são diferentes entre si?"
• Palavras-chave decisivas: dois últimos dígitos, distintos, algarismos de 0 a 9
• Armadilha típica: confundir a informação "distintos" com uma restrição que dobra o numerador (levando a 2/90 ou 2/100) ou ignorá-la por completo e calcular o total de possibilidades como 10 × 10 = 100 (chegando a 1/100).
• O que a resposta precisa demonstrar: domínio do Princípio Fundamental da Contagem para montar corretamente o espaço amostral e da definição de probabilidade clássica P = casos favoráveis ÷ casos possíveis.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Princípio Fundamental da Contagem (PFC): se uma primeira escolha pode ser feita de m maneiras e uma segunda escolha pode ser feita de n maneiras, o total de sequências possíveis dessas duas escolhas é m × n.
• Restrição de distinção em sequências: quando dois elementos de uma sequência precisam ser diferentes entre si, a segunda posição perde uma opção em relação à primeira — de n possibilidades, sobram n − 1 para não repetir o valor já usado.
• Probabilidade clássica (espaço amostral equiprovável): P(evento) = número de casos favoráveis ÷ número de casos possíveis, válida sempre que todos os resultados do espaço amostral têm a mesma chance de ocorrer — como é o caso de "tentar adivinhar" uma senha.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "sequência formada por oito dígitos, que são algarismos escolhidos de 0 a 9" → cada posição da senha, isoladamente, pode receber qualquer um dos 10 algarismos (0, 1, 2, ..., 9).
• Evidência 2: "se esqueceu dos dois últimos dígitos... lembrando somente que esses dígitos são distintos" → o problema se reduz a apenas duas posições desconhecidas (a 7ª e a 8ª), com a informação extra de que elas não podem ser iguais entre si.
• Síntese: o espaço amostral é o conjunto de todos os pares ordenados (7º dígito, 8º dígito) com valores distintos; a senha verdadeira corresponde a exatamente um único par dentro desse conjunto, ou seja, o evento favorável tem apenas 1 elemento.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Contar o total de pares possíveis (espaço amostral)

Para o 7º dígito (a primeira das duas posições esquecidas), há 10 algarismos possíveis: 0, 1, 2, ..., 9. São, portanto, 10 escolhas independentes.

Para o 8º dígito, a condição "distintos" do enunciado exige que ele seja diferente do algarismo já escolhido para o 7º dígito. Assim, sobram apenas 9 opções (os 10 algarismos originais menos aquele já usado na posição anterior).

Pelo Princípio Fundamental da Contagem, o total de pares ordenados com dígitos distintos é:

10 × 9 = 90.

Subpasso 4.2 — Identificar o número de casos favoráveis

A senha verdadeira é uma sequência fixa e específica — por exemplo, se os dois últimos dígitos reais forem "4" e "7" (nessa ordem), esse é o único par entre os 90 que faz o cofre abrir. Não existe mais de uma combinação "certa": há exatamente 1 caso favorável.

Subpasso 4.3 — Verificação (aplicar a definição de probabilidade)

P = casos favoráveis ÷ casos possíveis = 1 ÷ 90 = 1/90.

Conferindo contra as alternativas, 1/90 aparece exatamente na alternativa B. É importante notar que 90 = 10 × 9, e não 100 = 10 × 10: o denominador 100 só valeria se os dois dígitos pudessem se repetir livremente, o que o enunciado explicitamente proíbe ao dizer "distintos".

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 2/8

❌ Incorreta: nem o numerador nem o denominador têm relação matemática com o problema. O número "8" do enunciado refere-se ao tamanho total da senha (oito dígitos), não à quantidade de combinações possíveis para os dois dígitos esquecidos; e não existem 2 casos favoráveis, já que apenas uma sequência abre o cofre.

B) 1/90

✅ Correta: existe exatamente 1 caso favorável (a senha real) entre os 90 pares ordenados possíveis com dígitos distintos, calculados por 10 × 9, exatamente como demonstrado no Passo 4.

C) 2/90

❌ Incorreta: reproduz o erro clássico de duplicar o numerador, como se o par (a, b) e o par invertido (b, a) fossem igualmente "corretos". Mas a senha tem posições fixas — o 7º dígito não pode trocar de lugar com o 8º —, então existe apenas 1 sequência que efetivamente destrava o cofre, não 2.

D) 1/100

❌ Incorreta: usa 10 × 10 = 100 como total de possibilidades, valor que só seria correto se os dois dígitos pudessem se repetir livremente (sem a restrição "distintos" fornecida no enunciado). Essa alternativa ignora justamente o dado central do problema.

E) 2/100

❌ Incorreta: acumula os dois erros anteriores simultaneamente — duplica o numerador (erro de C) e usa o denominador de 100 sem considerar a restrição de distinção (erro de D).

🏆 Gabarito: B — a probabilidade de acerto é 1/90, pois há exatamente 1 sequência correta entre os 10 × 9 = 90 pares ordenados de dígitos distintos possíveis para as duas últimas posições da senha.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: apenas a letra B respeita simultaneamente as duas condições do enunciado — a contagem correta do espaço amostral (90, por causa da exigência de dígitos distintos) e a existência de um único caso favorável (a senha é uma sequência fixa e única).
• Padrão de cobrança: o ENEM cobra com frequência esse tipo de questão que combina o Princípio Fundamental da Contagem com a definição clássica de probabilidade (P = favoráveis ÷ possíveis), variando pequenos detalhes como permitir ou não repetição de elementos.
• Generalização: sempre que o enunciado disser que elementos de uma sequência devem ser "distintos" ou "diferentes entre si", a contagem de cada nova posição deve descontar as opções já utilizadas (n, depois n − 1, depois n − 2, e assim por diante); quando não há essa restrição, cada posição mantém sempre as mesmas n opções disponíveis.
• Dica de eliminação rápida: ao ver o número "8" no enunciado (tamanho total da senha) reaparecendo isolado em uma alternativa (como em 2/8), desconfie — é armadilha para quem lê rápido demais. Da mesma forma, descarte de imediato denominadores como 100 sempre que o texto mencionar "distintos", pois 100 = 10 × 10 representa o total sem nenhuma restrição de repetição.
• Conexões: Princípio Multiplicativo da Contagem; Arranjos simples; problemas de senhas e placas com dígitos condicionados (tema recorrente em provas de vestibular e concursos).