Questão 164 — ENEM 2021 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Funções exponenciais, equações exponenciais, potenciação
• ⚡ Nível: Médio — a dificuldade não está na álgebra em si, mas em enxergar que 6 561 é uma potência "escondida" de base 3 antes de conseguir igualar os expoentes.
• 🎯 Tema/Habilidade: Leitura de gráfico associada à resolução de equação exponencial — modelar e resolver problemas envolvendo crescimento exponencial (Competência de Área 5 da Matriz ENEM).
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "No gráfico de K(t) = 81 · 3^(t/3) + 2, o ponto destacado tem coordenadas (m, 6 563). Descubra o valor de m."
• Palavras-chave decisivas: K(m) = 6 563, gráfico com ponto (m, 6 563), valor de m
• Armadilha típica: isolar 3^(m/3) sem antes subtrair o "+2" da função, ou, depois de chegar a m/3 = 4, resolver a fração ao contrário (dividir 4 por 3 em vez de multiplicar por 3).
• O que a resposta precisa demonstrar: capacidade de traduzir uma leitura gráfica em uma equação algébrica e de resolver uma equação exponencial reduzindo os dois lados à mesma base.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Função exponencial: tem a forma f(t) = a · b^t + c, com b > 1 caracterizando crescimento acelerado; o "+ c" apenas desloca o gráfico verticalmente, sem alterar a taxa de crescimento.
• Potências de base 3: vale a pena memorizar a sequência 3¹=3, 3²=9, 3³=27, 3⁴=81, 3⁵=243, 3⁶=729, 3⁷=2 187, 3⁸=6 561 — reconhecer 81 e 6 561 nessa lista é o atalho que resolve a questão em segundos.
• Equação exponencial de mesma base: se a^x = a^y (com a > 0 e a ≠ 1), então necessariamente x = y. É a ferramenta central para "descer" o expoente e transformá-lo em uma equação linear comum.
• Leitura de gráfico cartesiano: um ponto marcado com linhas tracejadas até os dois eixos indica, simultaneamente, o valor da variável independente (eixo horizontal) e o valor da função nesse ponto (eixo vertical).

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "K(t) = 81 · 3^(t/3) + 2" → define completamente a lei da função: base 3, expoente fracionário t/3, coeficiente multiplicativo 81 e termo aditivo +2 (o valor mínimo de K quando t=0 é 81+2=83, o que explica por que a curva no gráfico já nasce acima da origem).
• Evidência 2: o gráfico mostra um ponto sobre a curva, com linha tracejada horizontal partindo de "6 563" no eixo K e linha tracejada vertical chegando até "m" no eixo t → isso significa, em linguagem algébrica, que K(m) = 6 563.
• Síntese: basta substituir t por m na lei da função, igualar o resultado a 6 563 e resolver a equação exponencial resultante para encontrar m.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Traduzir a leitura gráfica em equação

Como o ponto destacado tem coordenadas (m, 6 563), substituímos t = m na função:

K(m) = 81 · 3^(m/3) + 2 = 6 563

Subpasso 4.2 — Isolar a potência de base 3

Primeiro eliminamos o termo aditivo, subtraindo 2 dos dois lados:

81 · 3^(m/3) = 6 563 − 2 = 6 561

Em seguida, isolamos a potência dividindo por 81:

3^(m/3) = 6 561 ÷ 81

Fazendo a divisão (81 × 81 = 6 561, já que 81 × 80 = 6 480 e 6 480 + 81 = 6 561):

3^(m/3) = 81

Subpasso 4.3 — Igualar os expoentes e verificar

Reescrevemos 81 como potência de 3: 81 = 3⁴. A equação fica:

3^(m/3) = 3⁴

Como as bases são iguais (base 3 dos dois lados), os expoentes precisam ser iguais:

m/3 = 4 → m = 4 × 3 = 12

Verificação: K(12) = 81 · 3^(12/3) + 2 = 81 · 3⁴ + 2 = 81 · 81 + 2 = 6 561 + 2 = 6 563 ✓ — bate exatamente com o valor lido no gráfico, confirmando m = 12.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 4/3

❌ Incorreta: surge de um erro clássico de manipulação da equação m/3 = 4. Em vez de multiplicar os dois lados por 3 (obtendo m = 12), o estudante "lê" a fração ao contrário e calcula 4 ÷ 3, tratando o "3" do denominador como se devesse dividir o 4 em vez de multiplicá-lo. É um erro de álgebra básica, não de compreensão do modelo exponencial.

B) 7/5

❌ Incorreta: valor típico de quem tenta resolver a equação por aproximação numérica ou logaritmo decimal sem perceber que 6 561 é potência exata de base 3. Sem fatorar 6 561 = 3⁸, perde-se a simplificação que garante expoente inteiro, gerando uma fração sem relação real com a equação.

C) 24/5

❌ Incorreta: mesma armadilha de B — resultado fracionário de um erro na divisão 6 561 ÷ 81 ou na subtração 6 563 − 2, ignorando que os números da questão foram construídos como potências exatas de 3. Resolvida corretamente, a equação sempre dá um expoente inteiro (4), nunca 24/5.

D) 12

✅ Correta: é o único valor consistente com a resolução algébrica completa da equação 81 · 3^(m/3) + 2 = 6 563, verificado tanto pela fatoração (6 561 = 81 × 81 = 3⁴ × 3⁴... na verdade 3⁸) quanto pela substituição direta de volta na função original.

E) 81

❌ Incorreta: é a resposta de quem para no meio do caminho. O estudante chega corretamente até 3^(m/3) = 81, mas confunde "o valor da potência" com "o valor de m", esquecendo o passo final de escrever 81 como 3⁴ e resolver m/3 = 4. Ou seja, 81 é um resultado intermediário correto, mas não é a resposta da pergunta feita (o valor de m, não de 3^(m/3)).

🏆 Gabarito: D — m = 12 é o único valor que, substituído de volta em K(t) = 81 · 3^(t/3) + 2, reproduz exatamente K(12) = 6 563, o dado lido no gráfico.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: somente m = 12 satisfaz simultaneamente a lei da função e o ponto (m, 6 563) indicado no gráfico; qualquer outro valor, ao ser substituído em K(t), não devolve 6 563.
• Padrão de cobrança: o ENEM adora combinar leitura de gráfico com equação exponencial — o gráfico serve apenas para "informar" um par de coordenadas, e a resolução de fato acontece na equação algébrica derivada dele.
• Generalização: sempre que aparecer uma equação do tipo a · b^(f(t)) + c = valor, siga a ordem: (1) isole a constante aditiva, (2) isole a potência dividindo pelo coeficiente multiplicativo, (3) escreva o resultado como potência da mesma base do outro lado, (4) iguale os expoentes.
• Dica de eliminação rápida: decore as potências de 3 até 3⁸ = 6 561. Se um número "estranho" do enunciado bater com uma dessas potências, a questão quase certamente pede para você igualar expoentes — isso já elimina de cara alternativas fracionárias "estranhas" como B e C, que não fazem sentido quando o resultado é uma potência exata.
• Conexões: funções exponenciais em contextos de crescimento populacional/bacteriano; equações exponenciais resolvidas por igualdade de bases; logaritmos como ferramenta alternativa quando as bases não coincidem.