Questão 180 — ENEM 2025 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Progressão Geométrica e razões entre grandezas (formato A de papel)
• ⚡ Nível: Médio — a conta é curta, mas exige entender que cada "corte" multiplica a altura por um fator fixo, sem se confundir com a razão largura/altura.
• 🎯 Tema/Habilidade: Padrão multiplicativo (PG) aplicado a medidas geométricas; competência de modelar grandezas que variam por fator constante.
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Quantas vezes a altura da folha A1 é maior que a altura da folha A4?"
• Palavras-chave decisivas: altura (medida maior), A1 → A4 (três reduções), razão 1/√2
• Armadilha típica: usar a razão 1/√2 (que é largura/altura da MESMA folha) como se fosse o fator entre folhas diferentes, ou contar 4 saltos em vez de 3.
• O que a resposta precisa demonstrar: identificar o fator de redução por corte (√2) e elevá-lo ao número correto de saltos entre A1 e A4.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Formato A e a divisão ao meio: cada folha A(n+1) é a metade de A(n). Cortar ao meio divide a área por 2; logo cada medida linear é dividida por √2 (pois √2 × √2 = 2).
• Razão constante = PG: as alturas A0, A1, A2, A3, A4 formam uma progressão geométrica de razão 1/√2. Grandezas que variam por fator fixo se modelam por potências.
• Razão 1/√2 é interna à folha: o valor 1/√2 descreve largura÷altura de UMA folha (por isso o formato se mantém ao dobrar). Ele NÃO é o fator entre uma folha e a seguinte — é apenas a origem geométrica do √2.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "uma folha A0 corresponde a duas folhas A1, que corresponde a duas folhas A2, e assim por diante" → cada tamanho tem metade da área do anterior; a passagem An → A(n+1) reduz a medida linear por √2.
• Evidência 2: "razão entre largura e altura de cada folha é igual a 1/√2" → justifica geometricamente por que o fator de redução por corte é exatamente √2, mantendo o formato constante.
• Síntese: para ir de A1 até A4 há três cortes (A1→A2→A3→A4). Cada corte divide a altura por √2, então a altura de A1 é (√2)³ vezes a de A4.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Fator de redução por corte

Ao dobrar uma folha ao meio, a área cai pela metade. Como área ∝ (medida linear)², para a área cair por 2 cada medida linear cai por √2:

altura de A(n+1) = altura de A(n) ÷ √2.

Subpasso 4.2 — Escrever a altura como potência

Partindo de A1, cada passo divide por √2:

• altura A2 = altura A1 ÷ √2
• altura A3 = altura A1 ÷ (√2)²
• altura A4 = altura A1 ÷ (√2)³

Subpasso 4.3 — Montar a razão pedida

k = altura A1 ÷ altura A4 = altura A1 ÷ [altura A1 ÷ (√2)³] = (√2)³.

Calculando: (√2)³ = 2^(3/2) = 2 × √2 = 2√2 ≈ 2,83.

Subpasso 4.3 — Verificação

Foram 3 saltos (A1→A2→A3→A4), o expoente é 3 ✓. O resultado 2√2 aparece na alternativa B e é maior que 1, coerente com A1 sendo maior que A4. ✓

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 3√2

❌ Incorreta: trocaria a base do cálculo por 3, mas o expoente vem do número de saltos (3) aplicado à base √2, não o contrário. (√2)³ ≠ 3√2.

B) 2√2

✅ Correta: (√2)³ = 2 × √2 = 2√2, exatamente três reduções por √2 de A1 até A4.

C) 3/√2

❌ Incorreta: mistura o número de saltos (3) com a razão interna 1/√2; não corresponde a nenhum fator entre folhas.

D) 1/√2

❌ Incorreta: é o inverso de um único salto (altura A4 ÷ altura A3, e ainda só um passo). Além de invertida, considera apenas um corte.

E) 1/(2√2)

❌ Incorreta: é justamente o inverso do resultado (altura A4 ÷ altura A1). Responde à pergunta trocada, colocando a folha menor no numerador.

🏆 Gabarito: B — de A1 a A4 são três divisões por √2, logo k = (√2)³ = 2√2.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só B combina base √2 com expoente 3 (os três cortes A1→A2→A3→A4), dando 2√2.
• Padrão de cobrança: o ENEM adora o formato A de papel para testar PG e escala; a chave é lembrar que dobrar ao meio divide a área por 2 e cada lado por √2.
• Generalização: entre A(m) e A(n), a razão das alturas é (√2)^(n−m). Aqui n−m = 4−1 = 3.
• Dica de eliminação rápida: como A1 é maior que A4, k tem de ser maior que 1 — isso já elimina D e E de imediato; entre as restantes, contar 3 saltos leva a (√2)³ = 2√2.
• Conexões: progressões geométricas, semelhança de figuras e razão de áreas (fator linear ao quadrado).