Questão 161 — ENEM 2025 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Proporcionalidade inversa ao quadrado (grandezas inversamente proporcionais)
• ⚡ Nível: Fácil — basta aplicar a definição de proporção inversa quadrática e substituir uma distância pelo dobro da outra.
• 🎯 Tema/Habilidade: Modelagem de relações entre grandezas; interpretar e usar uma lei do tipo I = k/d² para comparar duas situações.
• 🏆 Gabarito: A — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Se a intensidade é inversamente proporcional ao quadrado da distância e o receptor 2 está ao dobro da distância do receptor 1, qual a relação entre I₁ e I₂?"
• Palavras-chave decisivas: inversamente proporcional, ao quadrado da distância, dobro da distância
• Armadilha típica: tratar a relação como se fosse proporcional (ou inversamente proporcional) à distância simples, esquecendo o quadrado — isso levaria a fatores 2 em vez de 4.
• O que a resposta precisa demonstrar: que dobrar a distância divide a intensidade por 2² = 4, logo o receptor 1 (mais perto) recebe 4 vezes mais que o receptor 2.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Proporcionalidade inversa ao quadrado: dizer que I é inversamente proporcional a d² significa que existe uma constante k tal que I = k/d². O produto I × d² é sempre o mesmo para o mesmo gerador.
• Constante de proporcionalidade: k depende do gerador (potência emitida), não do receptor. Como é o "mesmo gerador", k é idêntico para os dois receptores — este é o elo que permite comparar.
• Efeito de dobrar o denominador ao quadrado: se a distância multiplica por 2, o denominador d² multiplica por 2² = 4; logo a intensidade fica dividida por 4.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "intensidade I ... inversamente proporcional ao quadrado da distância" → fixa a lei matemática I = k/d² (não I = k/d).
• Evidência 2: "a distância do receptor 2 ... é o dobro da distância do receptor 1" → estabelece d₂ = 2·d₁, a única informação numérica necessária.
• Síntese: com a mesma constante k e a relação d₂ = 2d₁, basta escrever I₁ e I₂ em função de d₁ e comparar.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Escrever a lei para cada receptor

Chamando a distância do receptor 1 de d₁, temos:

I₁ = k / d₁²

Como d₂ = 2·d₁:

I₂ = k / d₂² = k / (2·d₁)² = k / (4·d₁²)

Subpasso 4.2 — Relacionar I₁ e I₂

Observe que k/d₁² = I₁. Então:

I₂ = (1/4) · (k / d₁²) = (1/4) · I₁

Isolando I₁:

I₁ = 4 · I₂

Subpasso 4.3 — Verificação

Teste com números: seja k = 100 e d₁ = 1. Então I₁ = 100/1 = 100. Com d₂ = 2, I₂ = 100/4 = 25. De fato 100 = 4 × 25, ou seja, I₁ = 4·I₂. Bate exatamente com a alternativa A. O receptor mais próximo recebe o sinal mais forte, o que faz sentido fisicamente.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) I₁ = 4 I₂

✅ Correta: dobrar a distância eleva d² por fator 4, dividindo a intensidade por 4; logo o receptor próximo recebe 4 vezes mais.

B) I₁ = 2 I₂

❌ Incorreta: usa fator 2, como se I fosse inversamente proporcional à distância simples (I = k/d), ignorando o quadrado.

C) I₁ = I₂

❌ Incorreta: só valeria se as distâncias fossem iguais; mas d₂ = 2d₁, então as intensidades têm de ser diferentes.

D) I₁ = ½ I₂

❌ Incorreta: inverte a relação (faria o receptor mais distante receber mais sinal) e ainda usa fator linear — dois erros somados.

E) I₁ = ¼ I₂

❌ Incorreta: inverte quem recebe mais. O fator 4 está certo, mas colocado ao contrário: quem está mais longe (receptor 2) não pode receber 4 vezes mais.

🏆 Gabarito: A — como I = k/d² e d₂ = 2d₁, tem-se I₂ = I₁/4, portanto I₁ = 4·I₂.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: A é a única que respeita simultaneamente o quadrado (fator 4) e o sentido físico (o receptor mais próximo recebe mais).
• Padrão de cobrança: o ENEM adora leis de "inverso do quadrado" (intensidade sonora, luminosa, gravitação, campo elétrico). Quase sempre a chave é dobrar/triplicar a distância e ver o efeito no quadrado.
• Generalização: se y é inversamente proporcional a xⁿ, multiplicar x por um fator m divide y por mⁿ. Aqui n = 2 e m = 2, logo divide por 4.
• Dica de eliminação rápida: o mais próximo recebe mais, então I₁ > I₂ — isso já elimina C, D e E de imediato. Entre A e B, o "quadrado" pede fator 4, não 2: fica A.
• Conexões: atenuação de ondas, lei do inverso do quadrado na Física, funções do tipo f(x) = k/x².