Questão 136 — ENEM 2025 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Geometria Espacial → dimensões e "caixa envolvente" (bounding box) de sólidos combinados (esfera + paralelepípedo)
• ⚡ Nível: Médio — a conta é simples, mas exige enxergar que a maior largura vem da esfera, não do pedestal.
• 🎯 Tema/Habilidade: Relacionar as medidas de sólidos geométricos ao espaço mínimo que os contém (competência de modelagem geométrica de situações reais).
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Qual das cinco caixas tem exatamente as dimensões mínimas para conter a escultura (esfera sobre pedestal), sem sobra?"
• Palavras-chave decisivas: perfeitamente ajustada, raio 5 cm (⇒ diâmetro 10), altura 15 cm / base 8 cm × 8 cm
• Armadilha típica: achar que a base da caixa é 8 × 8 (igual à base do pedestal), esquecendo que a esfera é mais larga que o pedestal.
• O que a resposta precisa demonstrar: calcular a altura total e a maior largura horizontal da escultura e casar essas medidas com uma caixa.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Diâmetro da esfera: o diâmetro é o dobro do raio; com r = 5 cm, o diâmetro é 2 × 5 = 10 cm. Esse é o "tamanho" da esfera em qualquer direção (largura, profundidade e altura).
• Tangência no topo: a esfera apenas toca o centro da face superior do pedestal; ela fica inteira acima do pedestal, empilhando altura, e não se encaixa dentro dele.
• Caixa envolvente (bounding box): a menor caixa retangular que contém um objeto tem, em cada direção, a maior medida do objeto naquela direção. Para sólidos empilhados, as alturas somam; as larguras não somam — vale a maior.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "esfera de raio 5 cm ... ponto de tangência entre os dois sólidos" → a esfera fica apoiada por cima, acrescentando sua altura inteira (o diâmetro, 10 cm) à altura do pedestal.
• Evidência 2: "pedestal ... 15 cm de altura e sua base ... quadrado, com lados de medida 8 cm" → o pedestal ocupa 8 cm de largura, mas a esfera, com 10 cm de diâmetro, "vaza" para os lados: a largura da escultura é ditada pela esfera.
• Síntese: preciso de duas medidas — a altura total (soma) e a largura máxima (a maior entre pedestal e esfera) — e comparar com as caixas.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Altura total da escultura

A esfera fica empilhada sobre o topo do pedestal, tocando-o no centro. Logo a altura é a soma:

altura total = altura do pedestal + diâmetro da esfera = 15 + (2 × 5) = 15 + 10 = 25 cm.

A caixa precisa, portanto, ter 25 cm na direção vertical — nem menos (não fecharia a tampa), nem mais (não seria "perfeitamente ajustada").

Subpasso 4.2 — Largura mínima da base da caixa

Olhando de cima, o pedestal ocupa um quadrado 8 × 8, mas a esfera, presa no centro, tem diâmetro 10 cm — maior que 8. Sua "sombra" (projeção horizontal) é um círculo de 10 cm de largura, que ultrapassa as bordas do pedestal.

Então a base da caixa precisa comportar os 10 cm da esfera:

largura mínima = maior(8, 10) = 10 cm em cada lado ⇒ base 10 × 10.

Subpasso 4.3 — Verificação

A escultura cabe, sem folga, numa caixa de base 10 × 10 cm e altura 25 cm.

Procurando na lista: a caixa 4 = 10 cm × 10 cm × 25 cm bate exatamente nas três medidas. As demais falham por altura errada, base pequena demais ou base grande demais (sobra). Resultado consistente.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) Caixa 1 (8 × 8 × 25)

❌ Incorreta: a base 8 × 8 repete a base do pedestal e ignora a esfera; com 10 cm de diâmetro, a esfera não passa pela abertura de 8 cm. Além disso, cai na armadilha central da questão.

B) Caixa 2 (13 × 13 × 20)

❌ Incorreta: a altura de 20 cm é menor que os 25 cm da escultura — a tampa não fecha. A base 13 × 13 ainda deixaria folga lateral, ferindo o "perfeitamente ajustada".

C) Caixa 3 (10 × 10 × 20)

❌ Incorreta: a base 10 × 10 é adequada, mas a altura de 20 cm é insuficiente (faltam 5 cm) — a esfera ficaria para fora.

D) Caixa 4 (10 × 10 × 25)

✅ Correta: base 10 × 10 acomoda exatamente a esfera (10 cm) e a altura 25 cm cobre pedestal (15) + esfera (10). Ajuste perfeito nas três dimensões.

E) Caixa 5 (13 × 13 × 25)

❌ Incorreta: a altura 25 cm está certa, mas a base 13 × 13 é maior que os 10 cm necessários — sobrariam 3 cm de cada lado, então não é "perfeitamente ajustada".

🏆 Gabarito: D — só a caixa 4 (10 × 10 × 25) reproduz, sem folga, as três dimensões da escultura: altura 25 cm (pedestal + esfera) e base 10 × 10 cm (diâmetro da esfera).

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: a caixa D é a única que satisfaz simultaneamente altura = 25 e base = 10 × 10; qualquer outra erra ao menos uma medida (altura curta em B e C, base curta em A, base folgada em E).
• Padrão de cobrança: o ENEM adora "empacotar" sólidos compostos e testar se você identifica a maior dimensão em cada direção, em vez de somar tudo por impulso.
• Generalização: para a menor caixa que contém um sólido, em cada direção use a maior extensão do objeto; quando os corpos são empilhados, as alturas somam e as larguras não (vale a maior).
• Dica de eliminação rápida: primeiro fixe a altura obrigatória (25 cm) e corte tudo que não a tiver — some as caixas 2 e 3 (altura 20). Depois exija base ≥ 10 e corte a caixa 1 (base 8). Sobram D e E; escolha a de base exata (10 × 10), não a folgada (13 × 13).
• Conexões: diâmetro × raio; projeção/sombra de sólidos; volume e área de embalagem; otimização de espaço.