Questão 147 — ENEM 2025 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Função quadrática (parábola, vértice e simetria)
• ⚡ Nível: Médio — exige montar e resolver um sistema linear para achar os coeficientes, mas o cálculo é direto.
• 🎯 Tema/Habilidade: Modelagem por função do 2º grau e determinação do ponto de máximo (vértice da parábola).
• 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Qual valor de Q (fertilizante) faz a produtividade P atingir o valor máximo?"
• Palavras-chave decisivas: função quadrática, produção máxima, dosagem ideal
• Armadilha típica: confundir o Q que dá o máximo (abscissa do vértice) com o maior P medido nas tabelas (Q = 200), ou tentar "chutar" pelo maior número da lista.
• O que a resposta precisa demonstrar: que o aluno sabe que o máximo de uma parábola com concavidade para baixo ocorre em Q = −b/(2a), e sabe obter a, b, c a partir dos dados.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Função quadrática: toda função do tipo P(Q) = aQ² + bQ + c, com a ≠ 0, tem por gráfico uma parábola. Se a < 0, a concavidade é para baixo e existe um ponto de máximo.
• Vértice da parábola: a abscissa do vértice é Q_v = −b/(2a). Nesse ponto a função atinge seu valor extremo (máximo se a < 0).
• Simetria da parábola: pontos com a mesma imagem P são simétricos em relação ao eixo que passa pelo vértice; logo a abscissa do vértice é a média das abscissas de dois pontos de mesmo P.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "Q = 0 kg/ha resultou P = 1 000 kg/ha" → o ponto (0, 1000) fornece diretamente o coeficiente c, pois P(0) = c.
• Evidência 2: "Q = 100 → P = 6 000" e "Q = 500 → P = 6 000" → dois valores de Q com o MESMO P: pela simetria, o vértice está exatamente no meio deles.
• Síntese: temos três informações suficientes para achar a, b, c; e ainda um atalho pela simetria usando os dois pontos de P = 6 000. Vamos resolver pelo método completo e confirmar pelo atalho.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Escrever o modelo e usar o ponto (0, 1000)

P(Q) = aQ² + bQ + c.

Como P(0) = 1000 → c = 1000.

Subpasso 4.2 — Montar o sistema com mais dois pontos

Ponto (100, 6000):

a·(100)² + b·(100) + 1000 = 6000

10000a + 100b = 5000 → dividindo por 100: 100a + b = 50 (I)

Ponto (500, 6000):

a·(500)² + b·(500) + 1000 = 6000

250000a + 500b = 5000 → dividindo por 100: 2500a + 5b = 50 → dividindo por 5: 500a + b = 10 (II)

Subpasso 4.3 — Resolver o sistema

Subtraindo (I) de (II): (500a + b) − (100a + b) = 10 − 50

400a = −40 → a = −0,1

Substituindo em (I): 100·(−0,1) + b = 50 → −10 + b = 50 → b = 60

Como a = −0,1 < 0, a parábola tem concavidade para baixo: existe máximo. ✓

Subpasso 4.4 — Calcular a dosagem de máximo (vértice)

Q_v = −b/(2a) = −60 / (2·(−0,1)) = −60 / (−0,2) = 300 kg/ha

Subpasso 4.5 — Verificação (atalho da simetria)

Os pontos (100, 6000) e (500, 6000) têm o mesmo P, logo o eixo de simetria passa pela média das abscissas:

Q_v = (100 + 500)/2 = 600/2 = 300 kg/ha. ✓ Mesmo resultado, sem resolver o sistema.

Ainda podemos conferir o quarto dado, (200, 9000):

P(200) = −0,1·(200)² + 60·200 + 1000 = −0,1·40000 + 12000 + 1000 = −4000 + 13000 = 9000. ✓

Todos os quatro pontos batem com o modelo, e Q = 300 corresponde ao topo da parábola.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 200

❌ Incorreta: 200 é a abscissa do ponto de maior P medido (9000), mas não é o vértice. O modelo mostra que a produção ainda cresce um pouco além de 200 (o máximo real é 300).

B) 250

❌ Incorreta: valor "intermediário" que parece razoável, mas não sai de nenhum cálculo válido. Não é a média dos pontos simétricos nem −b/(2a).

C) 300

✅ Correta: coincide tanto com Q_v = −b/(2a) = 300 quanto com a média (100+500)/2 = 300. É a dosagem que maximiza P.

D) 350

❌ Incorreta: ultrapassa o vértice; a partir de 300 a produtividade começa a cair, então 350 daria produção menor que o máximo.

E) 500

❌ Incorreta: é um extremo da tabela onde P já voltou a 6000 (mesmo valor de Q = 100). Está longe do topo da parábola.

🏆 Gabarito: C — A dosagem ideal é 300 kg/ha, ponto de máximo da parábola confirmado pelo cálculo do vértice e pela simetria dos pontos de mesma produção.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: 300 é o único valor que satisfaz Q = −b/(2a) e também a média dos dois Q com mesmo P; qualquer outro valor produz P menor.
• Padrão de cobrança: o ENEM adora modelagem quadrática de fenômenos reais (produção, lucro, altura de projétil) pedindo o ponto de máximo ou de mínimo — sempre o vértice.
• Generalização: para achar o extremo de P = aQ² + bQ + c, use Q_v = −b/(2a); com a < 0 é máximo, com a > 0 é mínimo.
• Dica de eliminação rápida: viu dois pontos com o mesmo valor de P? O vértice está no meio deles — aqui (100+500)/2 = 300 resolve a questão em segundos, cortando A, B, D e E de imediato.
• Conexões: simetria da parábola; sistemas lineares para determinar coeficientes; problemas de otimização.