Questão 172 — ENEM 2025 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Função quadrática (vértice/ponto de mínimo) e modelagem geométrica
• ⚡ Nível: Médio — o cálculo é curto, mas exige interpretar corretamente o sistema de coordenadas para converter o mínimo da parábola em distância ao solo.
• 🎯 Tema/Habilidade: Máximos e mínimos de função quadrática aplicados a uma situação real (H21/H22 — resolver problema com função em contexto).
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Qual a menor distância vertical, em metros, entre o fio e o solo?"
• Palavras-chave decisivas: menor distância, até o solo, origem em A
• Armadilha típica: parar no valor mínimo de y (−0,32) e não perceber que esse número é medido a partir da reta AB, que está a 6 m do chão — não do solo.
• O que a resposta precisa demonstrar: achar o ponto mais baixo da parábola (vértice) e somar corretamente a altura dos postes.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Concavidade e ponto de mínimo: como a = 0,02 > 0, a parábola tem concavidade para cima, logo possui um ponto de mínimo (o "fundo" do fio).
• Abscissa do vértice: o mínimo ocorre em x_v = −b/(2a). Ali o fio está no ponto mais próximo do solo.
• Mudança de referencial: o eixo x foi colocado no topo dos postes (na altura de A e B). Como os postes têm 6 m, esse eixo está 6 m acima do solo; valores negativos de y significam "abaixo da reta AB".

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "postes de 6 metros... extremos superiores... A como origem" → o eixo horizontal (y = 0) coincide com o topo dos postes, a 6 m do chão.
• Evidência 2: "y = 0,02x² − 0,16x" → função com a > 0 e b < 0; o fio afunda abaixo de AB, atingindo valores negativos de y no trecho central.
• Síntese: basta achar o y mínimo (fundo do fio) e calcular a altura do chão até esse ponto: altura do poste + y_min (com y_min negativo, isso subtrai).

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Localizar o vértice (x do fundo do fio)

Com a = 0,02 e b = −0,16:

x_v = −b/(2a) = −(−0,16)/(2 × 0,02) = 0,16 / 0,04 = 4 m.

O ponto mais baixo está no meio do vão (coerente com os 8 m entre A e B).

Subpasso 4.2 — Calcular o y mínimo

y_min = 0,02 × (4)² − 0,16 × 4

y_min = 0,02 × 16 − 0,64

y_min = 0,32 − 0,64 = −0,32 m.

O sinal negativo confirma que o fundo do fio está 0,32 m abaixo da reta AB.

Subpasso 4.3 — Converter para distância ao solo (e verificar)

A reta AB está a 6 m do solo. O fundo do fio está 0,32 m abaixo dela:

distância ao solo = 6 − 0,32 = 5,68 m.

Verificação: o valor é pouco menor que 6 m (afundamento pequeno de 32 cm), o que é fisicamente razoável para um vão de 8 m. Bate com a alternativa B.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 5,36.

❌ Incorreta: corresponde a 6 − 0,64, ou seja, usar diretamente o termo −0,16·4 = −0,64 esquecendo de somar o +0,32. É um erro de conta no valor do vértice.

B) 5,68.

✅ Correta: 6 + (−0,32) = 5,68 m. Vértice em x = 4 e y_min = −0,32 m, corretamente transposto para a altura do solo.

C) 5,84.

❌ Incorreta: resulta de erro de sinal/arredondamento (por exemplo, tratar o afundamento como 0,16 m), sem o cálculo correto do vértice.

D) 5,98.

❌ Incorreta: aproxima o afundamento a apenas 0,02 m (confundindo com o coeficiente a), ignorando o cálculo do y mínimo real.

E) 5,99.

❌ Incorreta: praticamente a altura do topo dos postes, como se o fio quase não afundasse — desconsidera completamente o vértice da parábola.

🏆 Gabarito: B — o fundo do fio fica 0,32 m abaixo da reta AB (a 6 m do solo), logo a menor distância ao solo é 6 − 0,32 = 5,68 m.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a letra B combina o vértice correto (x = 4, y = −0,32) com a soma certa da altura dos postes (6 m).
• Padrão de cobrança: o ENEM adora "esconder" a mudança de referencial: você calcula um mínimo/máximo e ainda precisa somar (ou subtrair) uma altura de referência do enunciado.
• Generalização: em parábola com a > 0, o mínimo é sempre em x = −b/(2a); a distância física final = valor de referência ± y_min, respeitando os sinais.
• Dica de eliminação rápida: o fio afunda pouco, então a resposta deve ser um pouco menor que 6 m e claramente maior que 5,5 — isso já derruba A (5,36) e deixa B como a mais plausível entre as próximas do teto.
• Conexões: catenária (aproximada por parábola em vãos curtos), lançamento oblíquo e problemas de área/receita máxima, todos resolvidos pelo vértice.