Questão 176 — ENEM 2025 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem)
• ⚡ Nível: Fácil — basta identificar quantas escolhas cada posição admite e multiplicar; o desafio está apenas em ler as restrições com atenção.
• 🎯 Tema/Habilidade: Contagem de agrupamentos por posições independentes; competência de resolver situação-problema usando o princípio multiplicativo.
• 🏆 Gabarito: B — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Quantos códigos de barras diferentes (sequências de 13 dígitos) podem existir, respeitando as regras de cada bloco de posições?"
• Palavras-chave decisivas: 13 dígitos, nessa ordem (posições 1-3 fixas), dígito verificador (posição 13 é consequência).
• Armadilha típica: tratar todas as 13 posições como se aceitassem 10 algarismos, ou "contar" as posições fixas e o verificador como se gerassem variação.
• O que a resposta precisa demonstrar: que só as posições realmente livres multiplicam a contagem, cada uma com o número correto de opções.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Princípio Fundamental da Contagem (PFC): se uma escolha é feita em etapas independentes, com n₁, n₂, …, n_k opções em cada etapa, o total de resultados é o produto n₁ × n₂ × … × n_k.
• Posição fixa (1 opção): quando um dígito é obrigatoriamente um valor determinado, ele contribui com fator 1 — não multiplica nem divide o total.
• Valor dependente (determinado): o dígito verificador é calculado a partir dos doze anteriores; para cada configuração dos 12 primeiros existe exatamente um verificador. Logo ele também contribui com fator 1.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "os três primeiros dígitos… são 7, 8 e 9 (nessa ordem)" → as posições 1, 2 e 3 têm valor único; contribuem com 1 × 1 × 1 = 1.
• Evidência 2: "posições quatro a nove… assumem os valores 4, 5, 6 ou 7" → são 6 posições, cada uma com 4 opções → 4⁶.
• Evidência 3: "posições dez a doze… qualquer algarismo de 0 a 9" e "O último dígito… é consequência dos doze primeiros" → 3 posições com 10 opções → 10³; a 13ª posição é determinada → fator 1.
• Síntese: só variam os blocos 4-9 e 10-12; multiplicando os fatores livres chega-se ao total.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Posições 1 a 3 (país)

São fixadas em 7, 8, 9 nessa ordem. Não há liberdade de escolha:

1 × 1 × 1 = 1 possibilidade.

Subpasso 4.2 — Posições 4 a 9 (empresa)

São 6 posições, e cada uma pode ser 4, 5, 6 ou 7, ou seja, 4 opções por posição, de forma independente:

4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 4⁶.

Subpasso 4.3 — Posições 10 a 12 (produto)

São 3 posições, cada uma aceita qualquer algarismo de 0 a 9, isto é, 10 opções por posição:

10 × 10 × 10 = 10³.

Subpasso 4.4 — Posição 13 (dígito verificador)

Ele é uma consequência dos doze dígitos anteriores: fixados os 12 primeiros, o verificador fica automaticamente determinado. Portanto contribui com fator 1 e não aumenta a contagem.

Subpasso 4.5 — Aplicando o PFC

Total = (1) × (4⁶) × (10³) × (1) = 4⁶ × 10³.

Subpasso 4.6 — Verificação

4⁶ = 4096 e 10³ = 1000, então o total é 4096 × 1000 = 4 096 000 códigos possíveis. A expressão 4⁶ × 10³ coincide exatamente com a alternativa B.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 4⁶ × 9³

❌ Incorreta: acerta o bloco da empresa (4⁶), mas usa 9 opções para as posições 10-12. O enunciado diz "qualquer algarismo de 0 a 9", que são 10 valores (o 0 conta). Erro clássico de esquecer o zero.

B) 4⁶ × 10³

✅ Correta: 6 posições com 4 opções (4⁶) e 3 posições com 10 opções (10³); as posições fixas e o verificador contribuem com fator 1.

C) 10⁶ × 10³

❌ Incorreta: trata as posições 4-9 como se tivessem 10 opções cada. Ignora a restrição de que só valem os valores 4, 5, 6 ou 7 (apenas 4 opções).

D) 3! × 4⁶ × 10³

❌ Incorreta: introduz um fator 3! = 6 como se os três primeiros dígitos pudessem ser permutados. Mas o enunciado fixa 7, 8, 9 "nessa ordem": há uma única disposição, fator 1, não 3!.

E) (6 × 4) × (10 × 3)

❌ Incorreta: soma/multiplica quantidade de posições por número de opções em vez de elevar a potência. O PFC exige 4⁶ (não 6 × 4) e 10³ (não 10 × 3); confunde "somar etapas" com "multiplicar opções repetidas".

🏆 Gabarito: B — só variam os 6 dígitos da empresa (4 opções cada) e os 3 dígitos do produto (10 opções cada), logo 4⁶ × 10³.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: as posições fixas (país) e a posição determinada (verificador) valem fator 1; multiplicam de fato apenas 4⁶ (empresa) e 10³ (produto), o que dá exatamente a letra B.
• Padrão de cobrança: o ENEM adora contagem por "casas" (senhas, placas, códigos, CEPs). A chave é sempre: quantas posições livres e quantas opções cada uma admite.
• Generalização: para posições independentes, total = (opções da posição 1) × (opções da posição 2) × … Quando uma posição tem valor obrigatório ou determinado por outras, seu fator é 1.
• Dica de eliminação rápida: "de 0 a 9" são 10 valores → elimina A (usou 9); restrição de 4 valores → elimina C (usou 10); ordem fixa → elimina D (3!); estrutura de soma → elimina E. Sobra B.
• Conexões: código EAN-13 real (o dígito verificador usa aritmética modular), arranjos com repetição e problemas de senhas/placas Mercosul.