Questão 146 — ENEM 2025 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → raciocínio lógico, otimização sob restrição e múltiplos
• ⚡ Nível: Difícil — exige ler uma tabela, entender regras de desempate e maximizar um valor sujeito a uma desigualdade estrita.
• 🎯 Tema/Habilidade: Interpretação de dados e tomada de decisão (H que envolve modelagem de situações-problema e comparação de grandezas).
• 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Qual é o MAIOR lance de manta asfáltica que a Empresa 2 pode dar e ainda assim ser a ÚNICA vencedora?"
• Palavras-chave decisivas: maior valor possível, única vencedora, múltiplos de R$ 500,00
• Armadilha típica: confundir "vencer" com "empatar" e aceitar a soma igual à da concorrente — mas em empate a regra de desempate (menor lance no maquinário) tira a vitória da Empresa 2.
• O que a resposta precisa demonstrar: que a soma da Empresa 2 fique estritamente menor que a menor soma das rivais, escolhendo o maior múltiplo de 500 que satisfaça isso.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Vencer sozinha (soma estrita): a Empresa 2 só é única vencedora se sua soma total for MENOR que a de todas as outras. Igualdade não basta.
• Regra de desempate: havendo empate na soma, vence quem tiver o MENOR lance em "maquinário". A Empresa 2 lançou R$ 11 000 no maquinário — valor alto —, então em qualquer empate ela perde.
• Restrição de múltiplos: o lance precisa ser múltiplo de R$ 500,00, logo a resposta pertence a {..., 8 500, 9 000, 9 500, ...}.
• Maximizar sob desigualdade estrita: buscar o maior múltiplo de 500 que ainda satisfaça soma < limite.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1 (tabela): "Empresa 1: 10 000 + 5 500 + 12 000" → soma da E1 = R$ 27 500,00, a MENOR entre as concorrentes já fechadas.
• Evidência 2 (tabela): "Empresa 2: 11 000 (maquinário) + 7 000 (RH) + ?" → a E2 já acumula R$ 18 000,00; falta só a manta.
• Síntese: para ser única vencedora, a soma da E2 (18 000 + x) tem de ficar abaixo de 27 500 (a rival mais barata). Basta comparar com a menor soma alheia e respeitar os múltiplos de 500.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Somar os lances das concorrentes

Com os dados da tabela:

• Empresa 1: 10 000 + 5 500 + 12 000 = 27 500
• Empresa 3: 11 500 + 6 000 + 11 000 = 28 500
• Empresa 4: 12 000 + 5 000 + 11 500 = 28 500
• Empresa 5: 11 000 + 5 000 + 12 500 = 28 500

A menor soma entre as rivais é a da Empresa 1: R$ 27 500,00. Esse é o alvo a bater.

Subpasso 4.2 — Montar a condição da Empresa 2

Soma parcial da E2 = 11 000 + 7 000 = 18 000. Sendo x o lance na manta:

soma da E2 = 18 000 + x.

Para vencer sozinha, precisamos de:

18 000 + x < 27 500 → x < 9 500.

Atenção: a desigualdade é estrita. Se x = 9 500, a soma da E2 seria 27 500, EMPATANDO com a Empresa 1. No desempate compara-se o maquinário: E1 = 10 000 < E2 = 11 000, então a Empresa 1 venceria. Por isso x = 9 500 está descartado.

Subpasso 4.3 — Verificação

Buscamos o maior múltiplo de 500 que satisfaça x < 9 500. O múltiplo imediatamente abaixo de 9 500 é 9 000.

• Com x = 9 000: soma da E2 = 18 000 + 9 000 = 27 000 < 27 500 ✔ (vence sozinha).
• Com x = 9 500: soma = 27 500 = E1 → empate, e a E2 perde no desempate ❌ (não serve).

Logo, o maior lance possível é R$ 9 000,00.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) 4 500,00

❌ Incorreta: dá vitória (soma 22 500), mas está muito abaixo do máximo permitido — não atende ao "maior valor possível".

B) 6 500,00

❌ Incorreta: soma 24 500, ainda vencedora, porém não é o maior lance viável; sobra folga até 9 000.

C) 9 000,00

✅ Correta: soma 27 000, estritamente menor que 27 500, é múltiplo de 500 e é o MAIOR valor que garante vitória isolada da Empresa 2.

D) 9 500,00

❌ Incorreta: soma exatamente 27 500, empatando com a Empresa 1. No desempate pelo maquinário (10 000 < 11 000), a Empresa 1 vence — a E2 não seria vencedora única.

E) 10 500,00

❌ Incorreta: soma 28 500, que iguala ou supera todas as rivais; a Empresa 2 sequer teria a menor soma e perderia a licitação.

🏆 Gabarito: C — R$ 9 000,00 é o maior múltiplo de R$ 500,00 que mantém a soma da Empresa 2 (27 000) abaixo da menor soma concorrente (27 500), garantindo vitória isolada.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a letra C combina as três exigências — múltiplo de 500, soma estritamente menor que 27 500 e o maior valor possível.
• Padrão de cobrança: o ENEM adora "otimização com pegadinha na igualdade": pede o maior/menor valor e testa se o candidato respeita a desigualdade estrita e as regras de desempate.
• Generalização: para maximizar x sob "soma < L", calcule o teto L − parcial e, se o resultado bate num valor proibido (igualdade/empate), desça um passo da unidade permitida (aqui, 500).
• Dica de eliminação rápida: compare a soma-alvo (27 500) com 18 000: a manta pode valer no máximo "quase 9 500". Isso corta A e B (pequenos demais) e D e E (empatam ou perdem), restando C.
• Conexões: inequações do 1º grau, comparação de somas e leitura de tabelas em situações de decisão.