Questão 163 — ENEM 2025 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Grandezas proporcionais (produtividade / regra de três composta)
• ⚡ Nível: Médio — a conta é simples, mas exige interpretar "rendimento" como capacidade de trabalho por profissional e comparar cinco cenários.
• 🎯 Tema/Habilidade: Proporcionalidade entre número de trabalhadores, rendimento e obra realizada (H habilidade de resolver situação-problema com grandezas proporcionais e escolha ótima).
• 🏆 Gabarito: D — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Qual opção repõe a capacidade de trabalho perdida (para terminar no mesmo prazo) usando o menor número de profissionais?"
• Palavras-chave decisivas: mesmo prazo, rendimento r, menor número de profissionais
• Armadilha típica: pensar que basta repor a quantidade de pessoas que saiu (18), ignorando que os novos têm rendimento maior que r — o que muda tudo é a capacidade (nº × rendimento), não a contagem de cabeças.
• O que a resposta precisa demonstrar: que a capacidade adicional contratada iguala (ou supera) a capacidade perdida, escolhendo entre as viáveis a de menor efetivo.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Rendimento (r): é a quantidade de obra que um profissional realiza por unidade de tempo. A obra concluída no prazo depende do produto (nº de profissionais) × (rendimento) × (tempo).
• Capacidade de trabalho: com o tempo (prazo) fixo, o que precisa ser mantido constante é a "vazão" total de trabalho = soma de (nº × rendimento). Terminar no prazo ⇔ manter essa soma igual à original.
• Capacidade original: 24 profissionais × r = 24r. Essa é a meta a ser reconstituída.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "24 profissionais, com um mesmo rendimento r, que completariam a obra em um determinado prazo" → a capacidade que garante o prazo é 24r.
• Evidência 2: "18 deles abandonaram o serviço e os demais continuaram trabalhando com rendimento r" → restam 24 − 18 = 6 profissionais, ou seja, capacidade atual = 6r.
• Evidência 3: "rendimento desses profissionais em relação ao rendimento dos que saíram" → os novos têm rendimento medido como múltiplo de r (2r, 2,2r, 1,5r); capacidade de cada opção = nº × rendimento.
• Síntese: falta repor 24r − 6r = 18r de capacidade. A opção escolhida deve fornecer capacidade ≥ 18r com o menor número de contratados.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Calcular a capacidade que falta

Capacidade necessária para o prazo: 24r.

Capacidade dos que ficaram: 6 × r = 6r.

Capacidade a contratar: 24r − 6r = 18r.

Subpasso 4.2 — Calcular a capacidade de cada opção

• Opção I: 6 × 2r = 12r (< 18r → não termina no prazo).
• Opção II: 8 × 2,2r = 17,6r (< 18r → falta um pouco, não fecha o prazo).
• Opção III: 9 × 1,5r = 13,5r (< 18r → insuficiente).
• Opção IV: 12 × 1,5r = 18r (= 18r → termina exatamente no prazo ✅).
• Opção V: 15 × 2r = 30r (> 18r → termina antes, mas usa mais gente).

Subpasso 4.3 — Verificação

Só duas opções atingem ou superam 18r: a IV (18r, 12 profissionais) e a V (30r, 15 profissionais). Como o critério é "menor número de profissionais que ainda cumpra o prazo", 12 < 15 → escolhe-se a Opção IV. Conferindo o prazo: 6r (quem ficou) + 18r (contratados) = 24r = capacidade original ✔.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) I.

❌ Incorreta: 6 × 2r = 12r. Somados aos 6r que ficaram, dá 18r < 24r — a obra atrasaria; não cumpre o prazo.

B) II.

❌ Incorreta: 8 × 2,2r = 17,6r. Fica 0,4r abaixo dos 18r exigidos; parece "quase", mas qualquer déficit de capacidade estoura o prazo.

C) III.

❌ Incorreta: 9 × 1,5r = 13,5r, bem abaixo de 18r. Insuficiente para reconstituir a capacidade de 24r.

D) IV.

✅ Correta: 12 × 1,5r = 18r, exatamente a capacidade perdida; total volta a 24r e a obra termina no prazo. É o menor efetivo entre as opções viáveis.

E) V.

❌ Incorreta: 15 × 2r = 30r cumpre (e sobra) o prazo, mas usa 15 profissionais contra os 12 da opção IV — viola o critério "menor número de profissionais".

🏆 Gabarito: D — a opção IV repõe exatamente os 18r de capacidade que faltavam usando o menor efetivo entre as que cumprem o prazo.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só IV (18r) e V (30r) atingem os 18r necessários; entre elas, 12 < 15, então a resposta é a IV (D).
• Padrão de cobrança: o ENEM adora disfarçar produtividade em "número de pessoas". A chave é sempre trabalhar com capacidade = nº × rendimento, e não com a contagem de indivíduos.
• Generalização: quando o prazo é fixo, mantenha constante a soma (quantidade × rendimento). Reponha o que faltou de capacidade, nunca o número de cabeças.
• Dica de eliminação rápida: calcule só o produto nº × rendimento de cada opção e corte tudo que der < 18r (elimina I, II e III de imediato); entre as que passam, fique com a de menor efetivo.
• Conexões: regra de três composta (homens × dias × obra), grandezas inversamente/diretamente proporcionais e problemas de vazão/torneiras.