Questão 166 — ENEM 2025 PPLCaderno azul · 2º Dia

Ficha da Questão

• 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Matemática financeira (porcentagem/desconto) e expressão algébrica (função linear)
• ⚡ Nível: Médio — a conta é simples, mas exige montar o valor médio ponderado por exame antes de multiplicar por n.
• 🎯 Tema/Habilidade: Modelagem algébrica de uma situação com porcentagem; competência de traduzir enunciado em expressão do tipo V = k·n.
• 🏆 Gabarito: A — revelado após resolução completa

Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando

• Comando reformulado: "Escreva a fórmula V(n) que dá o total arrecadado em função da quantidade n de exames realizados."
• Palavras-chave decisivas: 2/3 com convênio, 30% de desconto, valor arrecadado por n exames
• Armadilha típica: aplicar o desconto sobre todos os exames (chegando a 105n) ou esquecer o desconto e usar 150n; o correto é misturar os dois grupos.
• O que a resposta precisa demonstrar: cálculo do valor médio por exame (média ponderada) e montagem da expressão linear.

Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais

• Desconto percentual: um desconto de 30% significa pagar 70% do valor. Preço com convênio = 0,70 × 150 = 105.
• Média ponderada: quando frações diferentes da população pagam preços diferentes, o valor por exame é a soma de (fração × preço) de cada grupo.
• Função linear (V = k·n): se cada exame arrecada, em média, um valor fixo k, então n exames arrecadam V = k·n — proporcionalidade direta.

Passo 3 — Decodificação do Enunciado

• Evidência 1: "2/3 tinham algum tipo de convênio e... tiveram 30% de desconto" → dois terços dos exames rendem 105 reais cada.
• Evidência 2: "Os demais clientes não tiveram desconto" → o terço restante (1/3) rende os 150 reais integrais.
• Síntese: o total é uma composição de dois grupos; basta achar quanto rende, em média, cada exame e multiplicar pela quantidade n.

Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)

Subpasso 4.1 — Preço pago por cada grupo

Grupo com convênio (2/3 dos exames): desconto de 30% → paga 70% de 150.

0,70 × 150 = 105 reais por exame.

Grupo sem convênio (1/3 dos exames): paga o valor cheio = 150 reais por exame.

Subpasso 4.2 — Valor médio arrecadado por exame

Cada exame contribui, em média, com a soma ponderada pelas frações:

(2/3) × 105 + (1/3) × 150

= 210/3 + 150/3

= 70 + 50

= 120 reais por exame.

Subpasso 4.3 — Montagem e verificação

Se cada um dos n exames rende, em média, 120 reais, então:

V = 120 × n = 120 n.

Verificação com números concretos: para n = 3 exames, o esperado é 2 com convênio (2×105 = 210) e 1 sem (150), total 360. Pela fórmula: 120 × 3 = 360. ✅ Confere. Isso corresponde exatamente à alternativa A.

Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas

A) V = 120 n

✅ Correta: é a soma ponderada (2/3)·105 + (1/3)·150 = 120, o valor médio real por exame.

B) V = 135 n

❌ Incorreta: 135 seria a média simples entre 105 e 150 [(105+150)/2], ou seja, supor metade com convênio e metade sem — ignora que a proporção é 2/3 e 1/3.

C) V = 150 n

❌ Incorreta: usa o valor cheio para todos, como se ninguém tivesse convênio; desconsidera completamente o desconto dos 2/3.

D) V = 155 n

❌ Incorreta: valor superior ao próprio preço de tabela (150), impossível quando há desconto para parte dos clientes; provável erro de conta sem sentido econômico.

E) V = 180 n

❌ Incorreta: superestima grosseiramente; nenhum cliente paga mais que 150, então a média por exame jamais ultrapassa esse teto.

🏆 Gabarito: A — o valor médio por exame é 120 reais (média ponderada 2/3·105 + 1/3·150), logo V = 120 n.

Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova

• Reafirmação do gabarito: só a letra A resulta de ponderar corretamente as frações 2/3 e 1/3 com os preços 105 e 150.
• Padrão de cobrança: o ENEM adora situações de porcentagem em que grupos distintos pagam preços diferentes e pede a expressão/valor total — quase sempre é média ponderada.
• Generalização: valor total = (fração₁ × preço₁ + fração₂ × preço₂) × n. Some sempre "fração vezes preço" de cada grupo.
• Dica de eliminação rápida: como parte dos clientes tem desconto, a média por exame é obrigatoriamente menor que 150 — isso já corta C, D e E de imediato; entre A e B, a proporção 2/3 puxa o valor para baixo dos 135, sobrando A.
• Conexões: função afim/linear e proporcionalidade direta; cálculo de porcentagem e média ponderada.