Mapa de questões · 2º dia
Questão 175 — ENEM 2025 PPLCaderno azul · 2º Dia
Pretende-se utilizar uma bomba de combustível para abastecer, simultaneamente, duas aeronaves (A₁ e A₂), usando para isso vazões σ₁ > 0 e σ₂ > 0, respectivamente. A aeronave A₂ tem um volume de 100 litros de combustível antes do início do abastecimento, mas A₁ está sem combustível. Portanto, passados t segundos a partir do início do abastecimento, os volumes de combustível nas aeronaves são dados por V₁ = σ₁ t e V₂ = σ₂ t + 100. A vazão σ₁ é ajustável, mas a vazão σ₂ deve ser mantida a um valor fixo de 2 litros por segundo, conforme especificado pelo fabricante de A₂. O abastecimento das duas aeronaves se inicia no mesmo instante, e o operador da bomba foi orientado para programá-la de modo que A₁ e A₂ tenham o mesmo volume V_T de combustível após 10 minutos de abastecimento.
Após ser ajustada, a vazão σ₁, em termos do volume V_T, é expressa por
Alternativas
Resolução
Ficha da Questão
- 📚 Matérias Necessárias: Matemática → Função Afim e sistemas de equações (modelagem com taxa de variação)
- ⚡ Nível: Difícil — exige eliminar o tempo entre duas equações e chegar a uma expressão algébrica, não a um número.
- 🎯 Tema/Habilidade: Modelagem por funções afins; resolver problema-situação relacionando duas grandezas que variam no tempo (H21/H22 — competência de área 5).
- 🏆 Gabarito: C — revelado após resolução completa
Passo 1 — Leitura Estratégica do Comando
- Comando reformulado: "Escreva a vazão σ₁ como uma expressão que depende do volume final comum V_T."
- Palavras-chave decisivas: mesmo volume V_T, após 10 minutos, σ₂ fixo em 2 L/s
- Armadilha típica: achar um valor numérico para σ₁ (tentando calcular V_T = 1300 L) em vez de deixar a resposta em função de V_T, como o comando exige.
- O que a resposta precisa demonstrar: que o candidato usa as duas equações no mesmo instante t = 600 s, iguala os volumes e isola σ₁ em termos de V_T.
Passo 2 — Mapa de Conceitos Essenciais
- Função afim do volume: cada tanque enche segundo V = (vazão)·t + (volume inicial); a vazão é o coeficiente angular (taxa) e o volume inicial é o coeficiente linear.
- Vazão constante: vazão em L/s multiplicada pelo tempo em segundos dá o volume acrescentado; por isso 10 min devem virar 600 s antes de qualquer conta.
- Eliminação de variável: quando duas equações compartilham a mesma incógnita (aqui, o tempo t ou o volume V_T), isolamos uma grandeza numa equação e substituímos na outra para relacionar diretamente as demais.
Passo 3 — Decodificação do Enunciado
- Evidência 1: "V₁ = σ₁ t e V₂ = σ₂ t + 100" → A₁ parte do zero (sem termo constante) e A₂ parte de 100 L; são duas funções afins do tempo.
- Evidência 2: "tenham o mesmo volume V_T de combustível após 10 minutos" → no instante t = 600 s vale V₁ = V₂ = V_T; esse é o vínculo que fecha o problema.
- Síntese: temos duas expressões do mesmo V_T no mesmo instante; usá-las juntas permite trocar o tempo por V_T e isolar σ₁.
Passo 4 — Resolução Completa (Passo a Passo)
Subpasso 4.1 — Converter o tempo
10 minutos = 10 × 60 = 600 s. Logo t = 600 s nas duas equações.
Subpasso 4.2 — Escrever as duas condições em V_T
Na aeronave A₁: V_T = σ₁ · t.
Na aeronave A₂, com σ₂ = 2: V_T = 2 · t + 100.
Subpasso 4.3 — Eliminar o tempo
Da segunda equação, isolo t em função de V_T:
V_T = 2t + 100 ⇒ 2t = V_T − 100 ⇒ t = (V_T − 100) ÷ 2.
Substituo esse t na primeira equação:
V_T = σ₁ · (V_T − 100) ÷ 2.
Isolando σ₁:
σ₁ = V_T ÷ [(V_T − 100) ÷ 2] = 2 · V_T ÷ (V_T − 100).
Subpasso 4.4 — Verificação
O tempo t = 600 s é o mesmo nas duas equações, então usar t = (V_T − 100)/2 e t = V_T/σ₁ é coerente. Confirmando com o número: V_T = 2·600 + 100 = 1300 L; a fórmula dá σ₁ = 2·1300 ÷ (1300 − 100) = 2600 ÷ 1200 ≈ 2,17 L/s, e de fato σ₁·600 = 1300 ✓. A expressão bate com a alternativa C.
Passo 5 — Análise Crítica de Todas as Alternativas
A) σ₁ = (V_T/2)(V_T + 100)
❌ Incorreta: multiplica V_T por (V_T + 100) em vez de dividir; gera unidade de volume² e cresce sem limite, sem qualquer suporte nas equações do enunciado.
B) σ₁ = (V_T/2)(V_T − 100)
❌ Incorreta: usa a diferença correta (V_T − 100), mas como fator multiplicativo, não como denominador; confunde "dividir por t" com "multiplicar por t".
C) σ₁ = 2 V_T / (V_T − 100)
✅ Correta: resulta exatamente de substituir t = (V_T − 100)/2 em V_T = σ₁·t e isolar σ₁.
D) σ₁ = 2 V_T / (V_T + 100)
❌ Incorreta: troca o sinal no denominador. Viria de isolar t errado (t = (V_T + 100)/2), ignorando que os 100 L são somados, logo devem ser subtraídos ao isolar t.
E) σ₁ = V_T / (V_T − 50)
❌ Incorreta: só apareceria se σ₂ = 1 L/s (metade correta) ou se o operador dividisse os 100 por 2 no lugar errado; ignora o fator 2 de σ₂ = 2 L/s.
🏆 Gabarito: C — igualando V₁ = V₂ = V_T em t = 600 s e eliminando o tempo, obtém-se σ₁ = 2V_T/(V_T − 100).
Passo 6 — Conclusão, Generalização e Dica de Prova
- Reafirmação do gabarito: C é a única que mantém (V_T − 100) no denominador com o fator 2 de σ₂; qualquer outra distorce o isolamento de t.
- Padrão de cobrança: o ENEM adora dar duas grandezas variando no tempo e pedir uma em função da outra — a chave é sempre eliminar a variável comum (aqui, o tempo).
- Generalização: com V₁ = at e V₂ = bt + c, a igualdade at = bt + c leva a t = c/(a − b); substituindo, relaciona as vazões sem precisar do valor numérico do tempo.
- Dica de eliminação rápida: o comando pede σ₁ "em termos de V_T", então descarte de imediato qualquer alternativa com produto de V_T (A e B) — vazão dividida por tempo produz um quociente, não um produto.
- Conexões: função afim (coeficiente angular = taxa), sistemas lineares e proporcionalidade.
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